Номер 1.209, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.209. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \sin x$, найдите:

а) $\sin \frac{7\pi}{3}$;

б) $\sin \frac{17\pi}{4}$;

в) $\sin \frac{25\pi}{6}$;

г) $\sin \frac{7\pi}{2}$.

Основное свойство, которое мы будем использовать — периодичность функции синус. Её основной период равен $2\pi$, что означает $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$ для любого целого числа $k$. Это позволяет нам упрощать аргументы тригонометрических функций, отбрасывая целое число полных оборотов ($2\pi$).

а) Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{3}$, представим аргумент функции, выделив целую часть из неправильной дроби $\frac{7}{3}$:

$\frac{7\pi}{3} = (\mathbf{2} + \frac{1}{3})\pi = \mathbf{2}\pi + \frac{\pi}{3}$

Теперь мы можем применить свойство периодичности, отбросив $2\pi$ (здесь $k=1$):

$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(\mathbf{2}\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Аналогично найдем значение $\sin\frac{17\pi}{4}$. Выделим целую часть из дроби $\frac{17}{4}$:

$\frac{17\pi}{4} = (\mathbf{4} + \frac{1}{4})\pi = \mathbf{4}\pi + \frac{\pi}{4}$

Поскольку $4\pi = 2 \cdot 2\pi$, мы можем применить свойство периодичности ($k=2$):

$\sin\frac{17\pi}{4} = \sin(\mathbf{4}\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) Найдем значение $\sin\frac{25\pi}{6}$. Выделим целую часть из дроби $\frac{25}{6}$:

$\frac{25\pi}{6} = (\mathbf{4} + \frac{1}{6})\pi = \mathbf{4}\pi + \frac{\pi}{6}$

Используя свойство периодичности ($4\pi = 2 \cdot 2\pi$, то есть $k=2$):

$\sin\frac{25\pi}{6} = \sin(\mathbf{4}\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Найдем значение $\sin\frac{7\pi}{2}$. Выделим целую часть из дроби $\frac{7}{2}$:

$\frac{7\pi}{2} = (\mathbf{3} + \frac{1}{2})\pi = \mathbf{3}\pi + \frac{\pi}{2}$

Для применения свойства периодичности представим $3\pi$ как $2\pi + \pi$:

$\sin\frac{7\pi}{2} = \sin(\mathbf{3}\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(2\pi + \pi + \frac{\pi}{2})$

Отбросив период $2\pi$, получаем:

$\sin(\pi + \frac{\pi}{2})$

Далее, используя формулу приведения $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$, находим:

$\sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin\frac{\pi}{2} = -1$

Ответ: $-1$.