Номер 1.214, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.214. Верно ли, что нулями функции $f(x) = \sin x$ являются числа:

а) $2\pi$;

б) $\frac{5\pi}{2}$;

в) $-9\pi$;

г) $\frac{\pi}{2}$;

д) $-\frac{9\pi}{2}$;

е) $11\pi$?

Из данных чисел выберите значения аргумента, при которых функция $f(x) = \sin x$ принимает наименьшее значение.

Данная задача состоит из двух частей. Решим их последовательно.

Часть 1: Определение нулей функции

Нули функции $f(x) = \sin x$ — это значения аргумента $x$, при которых $f(x) = 0$. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения вида $x = n\pi$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Проверим каждое из предложенных чисел, соответствует ли оно этой формуле.

а) 2π;
Это число соответствует формуле $n\pi$ при $n=2$. Поскольку $2$ — целое число, $2\pi$ является нулем функции.
Проверка: $\sin(2\pi) = 0$.
Ответ: Да.

б) 5π/2;
Для этого числа коэффициент при $\pi$ равен $\frac{5}{2} = 2.5$, что не является целым числом. Следовательно, это не ноль функции.
Проверка: $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$.
Ответ: Нет.

в) -9π;
Это число соответствует формуле $n\pi$ при $n=-9$. Поскольку $-9$ — целое число, $-9\pi$ является нулем функции.
Проверка: $\sin(-9\pi) = 0$.
Ответ: Да.

г) π/2;
Для этого числа коэффициент при $\pi$ равен $\frac{1}{2}$, что не является целым числом. Следовательно, это не ноль функции.
Проверка: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \neq 0$.
Ответ: Нет.

д) -9π/2;
Для этого числа коэффициент при $\pi$ равен $-\frac{9}{2} = -4.5$, что не является целым числом. Следовательно, это не ноль функции.
Проверка: $\sin(-\frac{9\pi}{2}) = \sin(-4\pi - \frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 0$.
Ответ: Нет.

е) 11π?
Это число соответствует формуле $n\pi$ при $n=11$. Поскольку $11$ — целое число, $11\pi$ является нулем функции.
Проверка: $\sin(11\pi) = 0$.
Ответ: Да.

Часть 2: Нахождение наименьшего значения

Требуется найти среди данных чисел те значения аргумента $x$, при которых функция $f(x) = \sin x$ принимает наименьшее значение. Наименьшее значение функции $\sin x$ равно -1. Это значение достигается, когда $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Из вычислений, проведенных в первой части, мы знаем значения функции для всех предложенных аргументов:

• $\sin(2\pi) = 0$
• $\sin(\frac{5\pi}{2}) = 1$ (наибольшее значение)
• $\sin(-9\pi) = 0$
• $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (наибольшее значение)
• $\sin(-\frac{9\pi}{2}) = -1$ (наименьшее значение)
• $\sin(11\pi) = 0$

Таким образом, единственное число из списка, при котором функция достигает своего наименьшего значения, — это $-\frac{9\pi}{2}$. Представим это число в виде смешанной дроби, выделив целую часть.

Ответ: $-\mathbf{4}\frac{1}{2}\pi$