Номер 1.212, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.212. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

a) $f(x) = \sin 3x$;

б) $g(x) = x \cdot \sin x$;

в) $h(x) = 2x + \sin 3x$;

г) $p(x) = \sin x + 9$.

Для исследования функции на четность (нечетность), необходимо проверить, как изменится значение функции, если ее аргумент $x$ заменить на $-x$.

• Функция называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Важным условием является симметричность области определения функции относительно нуля. Для всех заданных функций область определения — все действительные числа ($D(f) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством.

Найдем значение $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(3(-x)) = \sin(-3x)$

Так как функция синус является нечетной, то есть $\sin(-a) = -\sin a$, получаем:

$f(-x) = -\sin(3x)$

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

Найдем значение $g(-x)$:

$g(-x) = (-x) \cdot \sin(-x)$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$:

$g(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x$

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $g(-x) = g(x)$. Следовательно, функция является четной (как произведение двух нечетных функций).

Ответ: функция четная.

Найдем значение $h(-x)$:

$h(-x) = 2(-x) + \sin(3(-x)) = -2x + \sin(-3x)$

Так как $\sin(-3x) = -\sin(3x)$, получаем:

$h(-x) = -2x - \sin(3x) = -(2x + \sin 3x)$

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $h(-x) = -h(x)$. Следовательно, функция является нечетной (как сумма двух нечетных функций).

Ответ: функция нечетная.

Найдем значение $p(-x)$:

$p(-x) = \sin(-x) + 9 = -\sin x + 9$

Теперь сравним полученное выражение с $p(x)$ и $-p(x)$:

• $p(-x) = -\sin x + 9$.
• $p(x) = \sin x + 9$.

Равенство $p(-x) = p(x)$ не выполняется, так как $-\sin x + 9 \neq \sin x + 9$ (кроме случаев, когда $\sin x = 0$).

• $-p(x) = -(\sin x + 9) = -\sin x - 9$.

Равенство $p(-x) = -p(x)$ также не выполняется, так как $-\sin x + 9 \neq -\sin x - 9$.

Поскольку ни одно из условий четности или нечетности не выполняется для всех $x$ из области определения, функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: функция ни четная, ни нечетная.