Номер 1.218, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.218. Используя свойства функции $f(x) = \sin x$, сравните значения выражений:

a) $ \sin(-\frac{\pi}{7}) $ и $ \sin\frac{2\pi}{7} $;

б) $ \sin\frac{3\pi}{5} $ и $ \sin\frac{9\pi}{10} $.

а) Для сравнения $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) $ и $ \sin\frac{2\pi}{7} $ воспользуемся свойствами функции $ y = \sin x $.
1. Используем свойство нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin x $. Применительно к нашему выражению: $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) = -\sin\frac{\pi}{7} $.
2. Определим знаки сравниваемых выражений. Угол $ \frac{\pi}{7} $ находится в первой координатной четверти ($ 0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $), поэтому его синус положителен: $ \sin\frac{\pi}{7} > 0 $. Следовательно, $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) = -\sin\frac{\pi}{7} $ является отрицательным числом.
3. Угол $ \frac{2\pi}{7} $ также находится в первой координатной четверти ($ 0 < \frac{2\pi}{7} < \frac{\pi}{2} $), поэтому его синус также положителен: $ \sin\frac{2\pi}{7} > 0 $.
4. Сравнивая отрицательное число $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) $ и положительное число $ \sin\frac{2\pi}{7} $, заключаем, что отрицательное число всегда меньше положительного.
Таким образом, $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) < \sin\frac{2\pi}{7} $.
Ответ: $ \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right) < \sin\frac{2\pi}{7} $.

б) Для сравнения $ \sin\frac{3\pi}{5} $ и $ \sin\frac{9\pi}{10} $ используем свойства функции синус.
1. Оба угла, $ \frac{3\pi}{5} $ и $ \frac{9\pi}{10} $, находятся во второй координатной четверти, так как $ \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi $ и $ \frac{\pi}{2} < \frac{9\pi}{10} < \pi $. Чтобы упростить сравнение, воспользуемся формулой приведения $ \sin(\pi - x) = \sin x $, чтобы перевести аргументы в первую четверть.
$ \sin\frac{3\pi}{5} = \sin\left(\pi - \frac{3\pi}{5}\right) = \sin\frac{2\pi}{5} $
$ \sin\frac{9\pi}{10} = \sin\left(\pi - \frac{9\pi}{10}\right) = \sin\frac{\pi}{10} $
2. Теперь задача сводится к сравнению $ \sin\frac{2\pi}{5} $ и $ \sin\frac{\pi}{10} $. Аргументы $ \frac{2\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{10} $ принадлежат первой четверти, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение синуса.
3. Сравним значения аргументов. Приведем дробь $ \frac{2\pi}{5} $ к знаменателю 10: $ \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{10} $.
Поскольку $ \frac{4\pi}{10} > \frac{\pi}{10} $, и функция синус возрастает на этом промежутке, то $ \sin\frac{4\pi}{10} > \sin\frac{\pi}{10} $.
4. Возвращаясь к исходным выражениям, получаем $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{9\pi}{10} $.
Ответ: $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{9\pi}{10} $.