Номер 1.206, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.206. Найдите множество значений функции:

$y = \sin x - 5;$

$y = \sin x + 3;$

$y = 4\sin x - 7;$

$y = 2 - 5\sin x;$

$y = 1,5\sin x - 2;$

$y = 1 - 3,2\sin x.$

Для нахождения множества значений (области значений) каждой из функций, мы будем использовать основное свойство функции синуса: ее значения всегда находятся в пределах от -1 до 1, включительно. Математически это записывается в виде двойного неравенства: $-1 \le \sin x \le 1$.

а) $y = \sin x - 5$

Исходя из неравенства $-1 \le \sin x \le 1$, вычтем 5 из каждой его части:

$-1 - 5 \le \sin x - 5 \le 1 - 5$

$-6 \le y \le -4$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-6; -4]$.

Ответ: $E(y) = [-6; -4]$.

б) $y = \sin x + 3$

К каждой части неравенства $-1 \le \sin x \le 1$ прибавим 3:

$-1 + 3 \le \sin x + 3 \le 1 + 3$

$2 \le y \le 4$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[2; 4]$.

Ответ: $E(y) = [2; 4]$.

в) $y = 4\sin x - 7$

Сначала умножим неравенство $-1 \le \sin x \le 1$ на 4:

$4 \cdot (-1) \le 4\sin x \le 4 \cdot 1$

$-4 \le 4\sin x \le 4$

Теперь вычтем 7 из каждой части:

$-4 - 7 \le 4\sin x - 7 \le 4 - 7$

$-11 \le y \le -3$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-11; -3]$.

Ответ: $E(y) = [-11; -3]$.

г) $y = 2 - 5\sin x$

Умножим неравенство $-1 \le \sin x \le 1$ на -5. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-5) \ge -5\sin x \ge 1 \cdot (-5)$

$5 \ge -5\sin x \ge -5$

Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-5 \le -5\sin x \le 5$

Теперь прибавим 2 к каждой части:

$2 - 5 \le 2 - 5\sin x \le 2 + 5$

$-3 \le y \le 7$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-3; 7]$.

Ответ: $E(y) = [-3; 7]$.

д) $y = 1,5\sin x - 2$

Умножим неравенство $-1 \le \sin x \le 1$ на 1,5:

$-1,5 \le 1,5\sin x \le 1,5$

Вычтем 2 из каждой части:

$-1,5 - 2 \le 1,5\sin x - 2 \le 1,5 - 2$

$-3,5 \le y \le -0,5$

Преобразуем десятичные дроби в смешанные числа, выделив целую часть:

$-3,5 = -3\frac{5}{10} = -3\frac{1}{2}$

$-0,5 = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-3\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [-3\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}]$.

е) $y = 1 - 3,2\sin x$

Умножим неравенство $-1 \le \sin x \le 1$ на -3,2, не забывая поменять знаки неравенства:

$(-1) \cdot (-3,2) \ge -3,2\sin x \ge 1 \cdot (-3,2)$

$3,2 \ge -3,2\sin x \ge -3,2$

Перепишем в стандартном виде:

$-3,2 \le -3,2\sin x \le 3,2$

Прибавим 1 к каждой части:

$1 - 3,2 \le 1 - 3,2\sin x \le 1 + 3,2$

$-2,2 \le y \le 4,2$

Преобразуем десятичные дроби в смешанные числа:

$-2,2 = -2\frac{2}{10} = -2\frac{1}{5}$

$4,2 = 4\frac{2}{10} = 4\frac{1}{5}$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-2\frac{1}{5}; 4\frac{1}{5}]$.

Ответ: $E(y) = [-2\frac{1}{5}; 4\frac{1}{5}]$.