Номер 1.198, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.198. Не выполняя построений, найдите область определения и множество значений функции:

а) $y = 7\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - 2$;

б) $y = \frac{1}{3}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{2}{3}$.

Для нахождения области определения и множества значений тригонометрических функций вида $y = A \cdot \sin(kx+b) + C$ или $y = A \cdot \cos(kx+b) + C$ не требуется построение графика. Анализ проводится на основе свойств базовых функций синуса и косинуса.

а) $y = 7\sin(x - \frac{\pi}{6}) - 2$

Область определения D(y):
Функция $\sin(t)$ определена для любого действительного числа $t$. Так как выражение под знаком синуса, $x - \frac{\pi}{6}$, определено для любого действительного значения $x$, то и область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = R$ или $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений E(y):
Множество значений для стандартной функции синуса — это отрезок $[-1; 1]$. Исходя из этого, найдем границы для $y$:

1. Начнем с базового неравенства:
   $ -1 \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1 $
2. Умножим все части неравенства на амплитудный множитель 7:
   $ 7 \cdot (-1) \le 7\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 7 \cdot 1 $
   $ -7 \le 7\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 7 $
3. Прибавим (в данном случае вычтем) сдвиг по оси ординат, то есть -2:
   $ -7 - 2 \le 7\sin(x - \frac{\pi}{6}) - 2 \le 7 - 2 $
   $ -9 \le y \le 5 $

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-9; 5]$.
$E(y) = [-9; 5]$.

Ответ: Область определения: $R$; множество значений: $[-9; 5]$.

б) $y = \frac{1}{3}\cos(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3}$

Область определения D(y):
Аналогично функции синуса, функция $\cos(t)$ определена для любого действительного числа $t$. Выражение $x + \frac{\pi}{4}$ определено для любого $x$, поэтому область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = R$ или $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений E(y):
Множество значений для стандартной функции косинуса — это отрезок $[-1; 1]$.

1. Начнем с базового неравенства:
   $ -1 \le \cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 1 $
2. Умножим все части неравенства на амплитудный множитель $\frac{1}{3}$:
   $ \frac{1}{3} \cdot (-1) \le \frac{1}{3}\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{3} \cdot 1 $
   $ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{3}\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{3} $
3. Вычтем сдвиг по оси ординат $\frac{2}{3}$:
   $ -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} \le \frac{1}{3}\cos(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} \le \frac{1}{3} - \frac{2}{3} $
   $ -\frac{3}{3} \le y \le -\frac{1}{3} $
4. Левая граница является неправильной дробью $-\frac{3}{3}$. Выделим из нее целую часть: $-\frac{3}{3} = \bf{-1}$.
   $ -1 \le y \le -\frac{1}{3} $

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1; -\frac{1}{3}]$.
$E(y) = [-1; -\frac{1}{3}]$.

Ответ: Область определения: $R$; множество значений: $[-1; -\frac{1}{3}]$.