Номер 1.192, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.192. Верно ли, что $\cos x < 0$, если:

a) $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$;

б) $x \in \left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$;

В) $x \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$;

Г) $x \in \left(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi\right)$?

Для того чтобы определить, верно ли утверждение $\cos x < 0$, необходимо проанализировать, в каких координатных четвертях находится угол $x$ для каждого из заданных интервалов. Функция косинуса ($\cos x$) представляет собой абсциссу точки на единичной окружности и принимает отрицательные значения во второй и третьей координатных четвертях. То есть, $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

а) Для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$:
Этот интервал соответствует первой координатной четверти. В этой четверти значения косинуса всегда положительны ($\cos x > 0$). Следовательно, утверждение, что $\cos x < 0$, является неверным.
Ответ: нет.

б) Для $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$:
Этот интервал на тригонометрической окружности соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти абсцисса точки отрицательна, поэтому значения косинуса всегда отрицательны ($\cos x < 0$). Следовательно, утверждение является верным.
Ответ: да.

в) Для $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$:
Этот интервал полностью соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения косинуса всегда отрицательны ($\cos x < 0$). Следовательно, утверждение является верным.
Ответ: да.

г) Для $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$:
Рассмотрим данный интервал. Конец интервала, $-2\pi$, соответствует $0$ на единичной окружности. Начало интервала, $-\frac{5\pi}{2}$, можно записать как $-2\pi - \frac{\pi}{2}$, что соответствует точке $-\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$ на окружности. Таким образом, интервал $(-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$ описывает дугу от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$, что является четвертой координатной четвертью. В этой четверти значения косинуса всегда положительны ($\cos x > 0$). Следовательно, утверждение, что $\cos x < 0$, является неверным.
Ответ: нет.