Номер 1.190, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.190. Найдите нули функции:

а) $y = \cos 3x$;

б) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$;

в) $y = \cos \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$;

г) $y = \cos \left(2x - \frac{\pi}{5}\right)$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули для каждой из данных функций, необходимо решить уравнение $y=0$. Общее решение для уравнения $\cos(A)=0$ имеет вид $A = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$\cos{3x} = 0$

Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Разделив обе части на 3, находим $x$:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$\cos{\left(x - \frac{\pi}{6}\right)} = 0$

Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Выражаем $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi k$

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

$x = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{4\pi}{6} + \pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi k$

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$\cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right)} = 0$

Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Выражаем $\frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Умножаем обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

$\cos{\left(2x - \frac{\pi}{5}\right)} = 0$

Аргумент косинуса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$:

$2x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Выражаем $2x$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{5} + \pi k$

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

$2x = \frac{5\pi}{10} + \frac{2\pi}{10} + \pi k = \frac{7\pi}{10} + \pi k$

Делим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{7\pi}{20} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{20} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.