Номер 1.183, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.183. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \cos x$, докажите, что $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\frac{5\pi}{2}$.

Для доказательства равенства $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2})$ используется свойство периодичности функции косинус. Основной период функции $f(x) = \cos x$ равен $T = 2\pi$. Это свойство выражается формулой:

$\cos(x + 2\pi k) = \cos x$, где $k$ — любое целое число.

Это означает, что значения косинуса равны для двух углов, если они отличаются на число, кратное $2\pi$.

Найдем разность углов в левой и правой частях доказываемого равенства:

$\frac{5\pi}{2} - (-\frac{3\pi}{2}) = \frac{5\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi + 3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} = 4\pi$

Разность $4\pi$ является целым кратным периода $2\pi$, поскольку $4\pi = 2 \cdot (2\pi)$. В данном случае коэффициент $k=2$.

Поскольку аргументы отличаются на $2 \cdot (2\pi)$, значения косинуса от этих аргументов равны. Мы можем показать это, преобразовав правую часть равенства с помощью свойства периодичности:

$\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 4\pi)$

Согласно свойству периодичности $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ (где $x = -\frac{3\pi}{2}$ и $k=2$), это выражение равно:

$\cos(-\frac{3\pi}{2})$

Таким образом, мы доказали, что $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(-\frac{3\pi}{2})$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.