Номер 1.178, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.178. Найдите множество значений функции:

a) $y = \cos x + 2$;

б) $y = 3,5\cos x - 4$;

в) $y = 5 - 2\cos x$.

Для нахождения множества значений функции, содержащей $\cos x$, используется свойство ограниченности функции косинуса. Множество значений функции $f(x) = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Исходя из этого неравенства, мы будем выполнять алгебраические преобразования, чтобы получить выражение, стоящее в правой части каждой из заданных функций, и таким образом определить его множество значений.

а) Для функции $y = \cos x + 2$ мы начинаем с основного неравенства для косинуса:

$-1 \le \cos x \le 1$

Чтобы получить выражение для $y$, нужно прибавить 2 ко всем частям этого неравенства:

$-1 + 2 \le \cos x + 2 \le 1 + 2$

Выполняем сложение:

$1 \le \cos x + 2 \le 3$

Так как $y = \cos x + 2$, то получаем:

$1 \le y \le 3$

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[1; 3]$.

Ответ: а) $E(y) = [1; 3]$

б) Для функции $y = 3,5\cos x - 4$ снова используем неравенство для косинуса:

$-1 \le \cos x \le 1$

Сначала умножим все части неравенства на 3,5. Поскольку 3,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$(-1) \cdot 3,5 \le 3,5\cos x \le 1 \cdot 3,5$

$-3,5 \le 3,5\cos x \le 3,5$

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3,5 - 4 \le 3,5\cos x - 4 \le 3,5 - 4$

Выполняем вычитание:

$-7,5 \le 3,5\cos x - 4 \le -0,5$

Так как $y = 3,5\cos x - 4$, то получаем:

$-7,5 \le y \le -0,5$

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[-7,5; -0,5]$.

Ответ: б) $E(y) = [-7,5; -0,5]$

в) Для функции $y = 5 - 2\cos x$ начинаем с неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

Сначала умножим все части на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-2) \ge -2\cos x \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\cos x \ge -2$

Для удобства записи перепишем неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):

$-2 \le -2\cos x \le 2$

Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-2 + 5 \le 5 - 2\cos x \le 2 + 5$

Выполняем сложение:

$3 \le 5 - 2\cos x \le 7$

Так как $y = 5 - 2\cos x$, то получаем:

$3 \le y \le 7$

Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[3; 7]$.

Ответ: в) $E(y) = [3; 7]$