Номер 1.174, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.174. Расположите в порядке возрастания числа $\sin(-3)$, $\sin(-3.2)$ и $\sin(-1.6)$.

Для того чтобы расположить числа $\sin(-3)$, $\sin(-3.2)$ и $\sin(-1.6)$ в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Аргументы синуса даны в радианах. Мы можем определить положение этих углов на тригонометрической окружности, используя приближенные значения числа $\pi$.

1. Определим ключевые значения:

• $\pi \approx 3.14159$
• $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$
• $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$
• $-\pi \approx -3.14159$
• $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.7124$

2. Определим, в каких координатных четвертях находятся углы:

Углы отрицательные, поэтому мы движемся по часовой стрелке от точки (1, 0) на единичной окружности.

• Для угла -1.6: Так как $-\pi \approx -3.14 < -1.6 < -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, этот угол находится в III координатной четверти. В этой четверти синус отрицателен, то есть $\sin(-1.6) < 0$.
• Для угла -3: Так как $-\pi \approx -3.14 < -3 < -\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, этот угол также находится в III координатной четверти. Следовательно, $\sin(-3) < 0$.
• Для угла -3.2: Так как $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.71 < -3.2 < -\pi \approx -3.14$, этот угол находится во II координатной четверти. В этой четверти синус положителен, то есть $\sin(-3.2) > 0$.

3. Первичное сравнение:

Поскольку $\sin(-3.2)$ — единственное положительное значение, оно является наибольшим из трех чисел. Числа $\sin(-1.6)$ и $\sin(-3)$ оба отрицательны.

4. Сравнение отрицательных значений:

Теперь нам нужно сравнить $\sin(-1.6)$ и $\sin(-3)$. Оба угла, -1.6 и -3, принадлежат интервалу $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \sin(x)$ является убывающей. Это означает, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\sin(x_1) > \sin(x_2)$.

Сравним аргументы:

$-3 < -1.6$

Поскольку функция синуса на данном интервале убывает, знаки неравенства для значений функции будут противоположны:

$\sin(-3) > \sin(-1.6)$

5. Итоговый порядок:

Мы установили, что:

• $\sin(-1.6)$ и $\sin(-3)$ отрицательны, причем $\sin(-1.6) < \sin(-3)$.
• $\sin(-3.2)$ положительно.

Следовательно, располагая числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), получаем:

$\sin(-1.6) < \sin(-3) < \sin(-3.2)$

Расположение чисел в порядке возрастания: Ответ: $\sin(-1.6), \sin(-3), \sin(-3.2)$.