Номер 1.167, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.167. Найдите значение выражения $\sin 7\pi + \sin \frac{11\pi}{2} - \sin \left(-\frac{9\pi}{2}\right)$.

Для нахождения значения выражения $\sin(7\pi) + \sin(\frac{11\pi}{2}) - \sin(-\frac{9\pi}{2})$ необходимо вычислить значение каждого тригонометрического выражения и выполнить соответствующие арифметические действия.

1. Вычисление $\sin(7\pi)$

Функция синуса имеет период $2\pi$. Это означает, что ее значения повторяются через каждый интервал $2\pi$. Мы можем отбросить целое число полных оборотов ($2\pi$) из аргумента функции.

$7\pi = 6\pi + \pi = 3 \cdot 2\pi + \pi$

Следовательно, значение $\sin(7\pi)$ равно значению $\sin(\pi)$.

$\sin(7\pi) = \sin(\pi) = 0$.

2. Вычисление $\sin(\frac{11\pi}{2})$

Для упрощения аргумента представим неправильную дробь $\frac{11}{2}$ в виде смешанного числа. Для этого выделим целую часть:

$\frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$

Таким образом, $\frac{11\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2}$. Теперь можно использовать периодичность и формулы приведения.

$5\pi = 4\pi + \pi = 2 \cdot 2\pi + \pi$

$\sin(\frac{11\pi}{2}) = \sin(5\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(4\pi + \pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{2})$

По формуле приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:

$\sin(\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

3. Вычисление $\sin(-\frac{9\pi}{2})$

Функция синуса является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$\sin(-\frac{9\pi}{2}) = -\sin(\frac{9\pi}{2})$

Упростим аргумент $\frac{9\pi}{2}$, выделив целую часть из дроби $\frac{9}{2}$:

$\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$

Значит, $\frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$-\sin(\frac{9\pi}{2}) = -\sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

4. Итоговый расчет

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\sin(7\pi) + \sin(\frac{11\pi}{2}) - \sin(-\frac{9\pi}{2}) = 0 + (-1) - (-1) = 0 - 1 + 1 = 0$.

Ответ: 0.