Номер 1.162, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.162. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \sin x$, найдите:

а) $\sin 765^\circ$;

б) $\sin(-315^\circ)$;

в) $\sin(1080^\circ)$;

г) $\sin(-810^\circ)$.

Для решения задачи используется свойство периодичности функции синус: $ \sin(\alpha) = \sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) $ для любого целого числа $k$. Это свойство позволяет сводить любой угол к углу в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, для которого значение синуса известно.

а) $\sin 765^\circ$;
Чтобы найти значение, представим угол $765^\circ$ в виде $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Для этого разделим $765$ на $360$:
$765 = 2 \cdot 360 + 45$.
Таким образом, угол $765^\circ$ соответствует двум полным оборотам и углу $45^\circ$.
Используя свойство периодичности, получаем:
$ \sin 765^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

б) $\sin(-315^\circ)$;
Чтобы найти значение для отрицательного угла, прибавим к нему период $360^\circ$ для получения эквивалентного положительного угла.
$ -315^\circ + 360^\circ = 45^\circ $.
Следовательно:
$ \sin(-315^\circ) = \sin(-315^\circ + 360^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в) $\sin(1080^\circ)$;
Определим, сколько полных оборотов содержится в угле $1080^\circ$.
$ 1080 \div 360 = 3 $.
Угол $1080^\circ$ представляет собой ровно три полных оборота, что эквивалентно углу $0^\circ$.
$ \sin 1080^\circ = \sin(3 \cdot 360^\circ + 0^\circ) = \sin 0^\circ = 0 $.
Ответ: $0$.

г) $\sin(-810^\circ)$.
Прибавим к углу $-810^\circ$ целое число периодов, чтобы получить положительный угол в стандартном диапазоне.
$ 810 \div 360 \approx 2.25 $. Следовательно, нам нужно прибавить 3 полных периода.
$ 3 \cdot 360^\circ = 1080^\circ $.
$ -810^\circ + 1080^\circ = 270^\circ $.
Используя свойство периодичности:
$ \sin(-810^\circ) = \sin(-810^\circ + 3 \cdot 360^\circ) = \sin 270^\circ = -1 $.
Ответ: $-1$.