Номер 1.164, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.164. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

a) $f(x) = -\sin 2x;$

б) $g(x) = 5x \cdot \sin 2x;$

в) $h(x) = 8x - \sin x;$

г) $p(x) = 5\sin 7x - 1.$

Для исследования функции на четность (нечетность) необходимо проверить, как изменится значение функции при замене аргумента $x$ на $-x$. Область определения всех заданных функций — множество всех действительных чисел ($D(y) = R$), которое является симметричным относительно нуля, поэтому мы можем приступить к проверке.

• Если $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения, то функция является четной.
• Если $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения, то функция является нечетной.
• Если ни одно из этих условий не выполняется, то функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

а) Дана функция $f(x) = -\sin 2x$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = -\sin(2(-x)) = -\sin(-2x)$.
Поскольку функция синус является нечетной, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:
$f(-x) = -(-\sin(2x)) = \sin(2x)$.
Теперь сравним полученный результат с $-f(x)$:
$-f(x) = -(-\sin 2x) = \sin 2x$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

б) Дана функция $g(x) = 5x \cdot \sin 2x$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$g(-x) = 5(-x) \cdot \sin(2(-x)) = -5x \cdot \sin(-2x)$.
Используя нечетность синуса ($\sin(-2x) = -\sin(2x)$), имеем:
$g(-x) = -5x \cdot (-\sin 2x) = 5x \cdot \sin 2x$.
Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $g(-x) = g(x)$.
Следовательно, функция является четной.
Ответ: четная.

в) Дана функция $h(x) = 8x - \sin x$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$h(-x) = 8(-x) - \sin(-x) = -8x - (-\sin x) = -8x + \sin x$.
Найдем выражение для $-h(x)$:
$-h(x) = -(8x - \sin x) = -8x + \sin x$.
Так как $h(-x) = -h(x)$, функция является нечетной. (Это также следует из того, что функция является разностью двух нечетных функций: $8x$ и $\sin x$).
Ответ: нечетная.

г) Дана функция $p(x) = 5\sin 7x - 1$.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$p(-x) = 5\sin(7(-x)) - 1 = 5\sin(-7x) - 1 = -5\sin 7x - 1$.
Сравним полученный результат с $p(x)$ и $-p(x)$.
1. Проверка на четность: $p(-x) = p(x)$?
$-5\sin 7x - 1 = 5\sin 7x - 1 \Rightarrow -10\sin 7x = 0 \Rightarrow \sin 7x = 0$. Это равенство выполняется не для всех $x$, значит функция не является четной.
2. Проверка на нечетность: $p(-x) = -p(x)$?
$-p(x) = -(5\sin 7x - 1) = -5\sin 7x + 1$.
$-5\sin 7x - 1 = -5\sin 7x + 1 \Rightarrow -1 = 1$. Это равенство ложно.
Поскольку ни одно из условий не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.