Номер 1.157, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.157. Найдите множество значений функции:

а) $y = \sin x - 6;$

б) $y = 4\sin x + 2;$

в) $y = 5 - 6\sin x.$

Чтобы найти множество значений каждой функции, мы будем исходить из того, что множество значений стандартной функции синуса $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin x \le 1$
Далее, мы будем применять к этому неравенству те же арифметические операции, которые применяются к $\sin x$ в формуле каждой данной функции.

а) $y = \sin x - 6$

1. Исходное неравенство для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$

2. Чтобы получить выражение $ \sin x - 6 $, вычтем 6 из всех частей неравенства:
$-1 - 6 \le \sin x - 6 \le 1 - 6$

3. Упростим выражение:
$-7 \le y \le -5$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-7, -5]$.
Ответ: $[-7, -5]$

б) $y = 4\sin x + 2$

1. Исходное неравенство для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$4 \cdot (-1) \le 4\sin x \le 4 \cdot 1$
$-4 \le 4\sin x \le 4$

3. Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-4 + 2 \le 4\sin x + 2 \le 4 + 2$

4. Упростим выражение:
$-2 \le y \le 6$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-2, 6]$.
Ответ: $[-2, 6]$

в) $y = 5 - 6\sin x$

1. Исходное неравенство для синуса:
$-1 \le \sin x \le 1$

2. Умножим все части неравенства на -6. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-6) \cdot (-1) \ge -6\sin x \ge (-6) \cdot 1$
$6 \ge -6\sin x \ge -6$

3. Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-6 \le -6\sin x \le 6$

4. Теперь прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы получить исходное выражение $y = 5 - 6\sin x$:
$5 - 6 \le 5 - 6\sin x \le 5 + 6$

5. Упростим выражение:
$-1 \le y \le 11$

Таким образом, множество значений функции — это отрезок $[-1, 11]$.
Ответ: $[-1, 11]$