Номер 1.152, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.152. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{2x+1}$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{2x + 1}$ необходимо выполнить два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль.

Эти условия можно записать в виде системы:

$\begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 2x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Рассмотрим решение для каждого условия по отдельности.

1. Условие для подкоренного выражения

Подкоренное выражение $1 - x^2$ должно быть больше или равно нулю. Решим неравенство:

$1 - x^2 \ge 0$

Перенесем $x^2$ в правую часть, чтобы получить $1 \ge x^2$, или, что то же самое, $x^2 \le 1$.

Это неравенство выполняется для всех $x$, модуль которых не превышает 1.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

2. Условие для знаменателя

Знаменатель $2x + 1$ не должен быть равен нулю. Решим это условие:

$2x + 1 \ne 0$

$2x \ne -1$

$x \ne -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \ne -\frac{1}{2}$.

3. Итоговая область определения

Теперь необходимо найти пересечение результатов, полученных в предыдущих пунктах. Мы должны взять все значения $x$ из отрезка $[-1, 1]$ и исключить из него точку $x = -\frac{1}{2}$.

Поскольку точка $x = -\frac{1}{2}$ лежит внутри отрезка $[-1, 1]$, она "выкалывается", разбивая его на два промежутка: от $-1$ до $-\frac{1}{2}$ и от $-\frac{1}{2}$ до $1$.

Ответ: $D(y) = [-1, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 1]$.