Номер 1.146, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.146. Найдите $ \cos \alpha $ и $ \cot \alpha $, если известно, что $ \sin \alpha = \frac{1}{3} $ и $ \alpha $ не лежит в первой четверти.

По условию задачи, $ \sin\alpha = \frac{1}{3} $. Значение синуса положительно, что возможно в первой и второй координатных четвертях. Также указано, что угол $ \alpha $ не лежит в первой четверти. Следовательно, угол $ \alpha $ находится во второй четверти.

Во второй четверти косинус ($ \cos\alpha $) имеет отрицательное значение, а котангенс ($ \text{ctg}\,\alpha $) также имеет отрицательное значение.

cos α

Для нахождения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим из него $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $

Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{1}{3} $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

Поскольку угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Таким образом, выбираем значение со знаком минус.

cos α Ответ: $ -\frac{2\sqrt{2}}{3} $

ctg α

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

Подставим известные значения $ \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $ и $ \sin\alpha = \frac{1}{3} $:

$ \text{ctg}\,\alpha = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 3 = -2\sqrt{2} $

ctg α Ответ: $ -2\sqrt{2} $