Номер 1.140, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.140. Упростите выражение:

а) $1 - \cos^2 \alpha$;

б) $\sin^2 \alpha - 1$;

в) $5\sin^2 \alpha + 5\cos^2 \alpha + 3$;

г) $\frac{3 - 3\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$;

д) $\sin \alpha \ctg\alpha$;

е) $1 - \sin \alpha \cos \alpha \ctg\alpha$;

ж) $1 - \sin^2 \alpha + \ctg^2 \alpha \sin^2 \alpha$;

з) $(1 - \cos^2 \alpha)\tg^2 \alpha + 1 - \tg^2 \alpha$.

а) Для упрощения выражения $1 - \cos^2 \alpha$ используется основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Если из этого тождества выразить $\sin^2 \alpha$, мы получим $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.
Следовательно, выражение $1 - \cos^2 \alpha$ равно $\sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

б) Для упрощения выражения $\sin^2 \alpha - 1$ также воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Перенесем 1 в левую часть, а $\cos^2 \alpha$ в правую: $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.
Таким образом, выражение $\sin^2 \alpha - 1$ равно $-\cos^2 \alpha$.
Ответ: $-\cos^2 \alpha$.

в) В выражении $5\sin^2 \alpha + 5\cos^2 \alpha + 3$ можно вынести общий множитель 5 за скобки в первых двух слагаемых: $5(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 3$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ равна 1. Подставив это значение, получаем:
$5 \cdot 1 + 3 = 5 + 3 = 8$.
Ответ: 8.

г) Рассмотрим дробь $\frac{3 - 3\cos^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$. Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
В числителе $3 - 3\cos^2 \alpha$ вынесем 3 за скобки: $3(1 - \cos^2 \alpha)$. Из основного тригонометрического тождества следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Значит, числитель равен $3\sin^2 \alpha$.
В знаменателе $1 - \sin^2 \alpha$, согласно тому же тождеству, равен $\cos^2 \alpha$.
Получаем дробь: $\frac{3\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Так как отношение $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ есть $\text{tg} \alpha$, то $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha$.
В итоге выражение упрощается до $3\text{tg}^2 \alpha$.
Ответ: $3\text{tg}^2 \alpha$.

д) В выражении $\sin\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$ используем определение котангенса: $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Подставляем это в исходное выражение: $\sin\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
При условии, что $\sin \alpha \neq 0$ (что необходимо для существования котангенса), мы можем сократить $\sin \alpha$. В результате остается $\cos \alpha$.
Ответ: $\cos \alpha$.

е) Рассмотрим выражение $1 - \sin\alpha \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$. Упростим сначала произведение $\sin\alpha \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Подставим определение котангенса $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $\sin\alpha \cos\alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Сокращаем $\sin \alpha$ и получаем $\cos\alpha \cdot \cos\alpha = \cos^2 \alpha$.
Теперь исходное выражение принимает вид $1 - \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменяем $1 - \cos^2 \alpha$ на $\sin^2 \alpha$.
Ответ: $\sin^2 \alpha$.

ж) Упростим выражение $1 - \sin^2 \alpha + \text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$.
Сгруппируем первые два члена: $(1 - \sin^2 \alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, это равно $\cos^2 \alpha$.
Теперь рассмотрим третий член: $\text{ctg}^2 \alpha \sin^2 \alpha$. Подставим определение котангенса $\text{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$: $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha$.
Сократив $\sin^2 \alpha$, получим $\cos^2 \alpha$.
Таким образом, исходное выражение равно сумме двух полученных частей: $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha$.
Ответ: $2\cos^2 \alpha$.

з) Рассмотрим выражение $(1 - \cos^2 \alpha)\text{tg}^2 \alpha + 1 - \text{tg}^2 \alpha$.
Раскроем скобки: $1 \cdot \text{tg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha + 1 - \text{tg}^2 \alpha$.
Получаем: $\text{tg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha + 1 - \text{tg}^2 \alpha$.
Члены $\text{tg}^2 \alpha$ и $-\text{tg}^2 \alpha$ взаимно уничтожаются. Остается: $1 - \cos^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha$.
Теперь используем определение тангенса $\text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$:
$1 - \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Сокращаем $\cos^2 \alpha$ (при условии $\cos \alpha \neq 0$): $1 - \sin^2 \alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Ответ: $\cos^2 \alpha$.