Номер 1.145, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.145. Упростите выражение:

a) $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)\cot^2\alpha$;

б) $\tan\alpha \cot\alpha - (\sin\alpha \cot\alpha)^2$;

В) $\frac{1}{1 + \tan^2\alpha} + \frac{1}{1 + \cot^2\alpha}$.

а) Для упрощения выражения $(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha)\operatorname{ctg}^2\alpha$ применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:
$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Подставим это в выражение:
$\sin^2\alpha \cdot \operatorname{ctg}^2\alpha$.
Теперь используем определение котангенса $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\sin^2\alpha \cdot \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = \sin^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Сокращаем $\sin^2\alpha$ и получаем:
$\cos^2\alpha$.
Ответ: $\cos^2\alpha$

б) Упростим выражение $\operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha - (\sin\alpha \operatorname{ctg}\alpha)^2$.
Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Первый член, $\operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$, равен $1$, так как $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha}$.
Теперь упростим выражение в скобках, используя определение котангенса:
$\sin\alpha \operatorname{ctg}\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.
Возводим результат в квадрат: $(\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$.
Подставляем упрощенные части обратно в исходное выражение:
$1 - \cos^2\alpha$.
По основному тригонометрическому тождеству $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
Ответ: $\sin^2\alpha$

в) Упростим выражение $\frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} + \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha}$.
Воспользуемся следующими тригонометрическими тождествами:
$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \sec^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$.
Упрощая "двухэтажные" дроби, получаем:
$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.
Ответ: 1