Номер 1.150, страница 53 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.150. По графику функции $y = f(x)$, изображенному на рисунке 73, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) промежутки знакопостоянства функции;

д) промежутки возрастания и убывания функции;

е) наибольшее и наименьшее значения функции.

Рис. 73

а) область определения функции;
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых функция определена. На графике видно, что он построен для значений $x$ от -6 до 10 включительно.
Ответ: $D(f) = [-6; 10]$.

б) множество значений функции;
Множество значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (переменная $y$). Чтобы найти его, нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. Самая низкая точка графика имеет ординату (значение $y$) -5, а самая высокая — 6.
Ответ: $E(f) = [-5; 6]$.

в) нули функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Геометрически это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox.
Из графика находим следующие нули: $x = -5$, $x = -1$, $x = 4$ и $x = 7,5$.
Ответ: -5; -1; 4; $7\frac{1}{2}$.

г) промежутки знакопостоянства функции;
Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак, то есть остается либо строго положительной ($f(x) > 0$), либо строго отрицательной ($f(x) < 0$).

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах $(-5; -1)$ и $(7\frac{1}{2}; 10]$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $[-6; -5)$, $(-1; 4)$ и $(4; 7\frac{1}{2})$. В точке $x=4$ функция равна нулю, поэтому эту точку мы исключаем из промежутков знакопостоянства.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-5; -1) \cup (7\frac{1}{2}; 10]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-6; -5) \cup (-1; 4) \cup (4; 7\frac{1}{2})$.

д) промежутки возрастания и убывания функции;

• Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх (при увеличении $x$ увеличивается $y$). Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (и наоборот), называются точками экстремума. На данном графике это точки с абсциссами $x = -3$, $x = 2$, $x = 4$, $x = 6$.
  Промежутки возрастания: от $x = -6$ до $x = -3$, от $x = 2$ до $x = 4$ и от $x = 6$ до $x = 10$.
• Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз (при увеличении $x$ уменьшается $y$).
  Промежутки убывания: от $x = -3$ до $x = 2$ и от $x = 4$ до $x = 6$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -3]$, $[2; 4]$, $[6; 10]$; функция убывает на промежутках $[-3; 2]$, $[4; 6]$.

е) наибольшее и наименьшее значения функции.
Это экстремальные значения функции на всей ее области определения.

• Наибольшее значение функции ($y_{наиб.}$) — это ордината самой высокой точки графика. На данном графике это значение равно 6 и достигается при $x = 10$.
• Наименьшее значение функции ($y_{наим.}$) — это ордината самой низкой точки графика. На данном графике это значение равно -5 и достигается в двух точках: при $x = -6$ и при $x = 2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение функции равно -5.