Номер 1.147, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.147*: Найдите ctgα, если $ \frac{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}{2\cos\alpha + 3\sin\alpha} = 3 $.

Дано уравнение:

$$ \frac{4\sin\alpha - 3\cos\alpha}{2\cos\alpha + 3\sin\alpha} = 3 $$

Чтобы найти $\cot\alpha$, преобразуем данное уравнение. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2\cos\alpha + 3\sin\alpha)$, при условии, что он не равен нулю:

$$ 4\sin\alpha - 3\cos\alpha = 3(2\cos\alpha + 3\sin\alpha) $$

Раскроем скобки в правой части:

$$ 4\sin\alpha - 3\cos\alpha = 6\cos\alpha + 9\sin\alpha $$

Перегруппируем члены уравнения так, чтобы все слагаемые с $\sin\alpha$ оказались с одной стороны, а с $\cos\alpha$ — с другой:

$$ 4\sin\alpha - 9\sin\alpha = 6\cos\alpha + 3\cos\alpha $$

Приведем подобные слагаемые:

$$ -5\sin\alpha = 9\cos\alpha $$

По определению котангенса $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Чтобы получить это отношение, разделим обе части равенства на $9\sin\alpha$. Это действие корректно, так как $\sin\alpha \neq 0$ (в противном случае, из уравнения следовало бы, что и $\cos\alpha = 0$, что невозможно одновременно, так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$).

$$ \frac{-5\sin\alpha}{9\sin\alpha} = \frac{9\cos\alpha}{9\sin\alpha} $$

$$ -\frac{5}{9} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $$

Таким образом, мы нашли искомое значение:

$$ \cot\alpha = -\frac{5}{9} $$

Полученная дробь $-\frac{5}{9}$ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $ -\frac{5}{9} $