Номер 1.142, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.142. Докажите тождество:

а) $(1 + \text{ctg}^2\alpha)\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = 1;$

б) $(1 - \cos^2\alpha)(1 + \text{tg}^2\alpha) = \text{tg}^2\alpha.$

a) Для доказательства тождества $(1 + \ctg^2\alpha)\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = 1$ преобразуем его левую часть.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Подставим это выражение в левую часть равенства:

$(1 + \ctg^2\alpha)\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{1}{\sin^2\alpha}\right)\sin^4\alpha + \cos^2\alpha$

Сократим дробь в первом слагаемом:

$\frac{\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha} + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Левая часть равна правой ($1=1$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $(1 - \cos^2\alpha)(1 + \tg^2\alpha) = \tg^2\alpha$ преобразуем его левую часть.

Используем два тригонометрических тождества:

1. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$.
2. Тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(1 - \cos^2\alpha)(1 + \tg^2\alpha) = (\sin^2\alpha) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)$

Упростим полученное выражение:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

По определению тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \tg^2\alpha$.

Левая часть равна правой ($\tg^2\alpha = \tg^2\alpha$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.