Номер 1.144, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.144. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = 2 $ и $ \sin \alpha < 0 $.

Для решения задачи сначала определим, в какой координатной четверти находится угол $\alpha$.

Из условия $\text{ctg} \alpha = 2$ (положительное значение) следует, что угол $\alpha$ может находиться в I или III четверти.

Из условия $\sin \alpha < 0$ (отрицательное значение) следует, что угол $\alpha$ может находиться в III или IV четверти.

Одновременное выполнение этих двух условий возможно только в том случае, если угол $\alpha$ находится в III четверти. В этой четверти $\sin \alpha < 0$, $\cos \alpha < 0$ и $\text{tg} \alpha > 0$.

Теперь найдем значения искомых тригонометрических функций.

sin α
Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ Подставим известное значение $\text{ctg} \alpha = 2$: $$ 1 + 2^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ 1 + 4 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ 5 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} $$ Отсюда $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как угол $\alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен (согласно условию $\sin \alpha < 0$), выбираем значение со знаком минус: $$ \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$ Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $$ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{5}$

cos α
Значение косинуса можно найти из определения котангенса: $$ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Отсюда выражаем косинус: $$ \cos \alpha = \text{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha $$ Подставляем известные значения $\text{ctg} \alpha = 2$ и $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$: $$ \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $$ Знак косинуса отрицательный, что соответствует III четверти.
Проверка: Можно также использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $$ $$ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} $$ Поскольку в III четверти косинус отрицателен, выбираем знак минус, что подтверждает результат. $$ \cos \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $$ Ответ: $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

tg α
Тангенс является обратной функцией к котангенсу: $$ \text{tg} \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \alpha} $$ Подставляем известное значение $\text{ctg} \alpha = 2$: $$ \text{tg} \alpha = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$