Номер 1.141, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.141. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

Поскольку угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, он находится во второй координатной четверти. В этой четверти синус положителен ($sin\alpha > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($cos\alpha < 0$, $tg\alpha < 0$, $ctg\alpha < 0$). Это согласуется с условием, что $ctg\alpha$ отрицателен.

sinα:
Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + ctg^2\alpha = \frac{1}{sin^2\alpha}$.
Подставим в формулу данное значение $ctg\alpha = -\frac{5}{12}$:
$1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$1 + \frac{25}{144} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$\frac{144}{144} + \frac{25}{144} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
$\frac{169}{144} = \frac{1}{sin^2\alpha}$
Отсюда находим $sin^2\alpha$:
$sin^2\alpha = \frac{144}{169}$
$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, где синус положителен, выбираем значение со знаком плюс.
Ответ: $\frac{12}{13}$

cosα:
Зная синус и котангенс, найдем косинус из определения котангенса: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$.
Выразим отсюда косинус: $cos\alpha = ctg\alpha \cdot sin\alpha$.
Подставим известные значения $ctg\alpha$ и $sin\alpha$:
$cos\alpha = \left(-\frac{5}{12}\right) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5 \cdot 12}{12 \cdot 13} = -\frac{5}{13}$.
Полученное значение отрицательно, что соответствует знаку косинуса во второй четверти.
Ответ: $-\frac{5}{13}$

tgα:
Тангенс и котангенс — взаимно обратные величины, поэтому $tg\alpha = \frac{1}{ctg\alpha}$.
$tg\alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5}$.
Дробь $-\frac{12}{5}$ является неправильной. Выделим из неё целую часть:
$-\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5}$.
Ответ: $-2\frac{2}{5}$