Номер 1.135, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.135. Упростите выражение:

a) $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)\text{tg}^2\alpha;$

б) $\text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha - (\cos \alpha \text{tg} \alpha)^2;$

в) $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha;$

г) $\frac{\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{\text{ctg}^2 \alpha - 1}{\text{ctg} \alpha};$

Д) $\frac{\sin^3 \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha};$

e) $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\text{ctg} \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}.$

а) Упростим выражение $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)\tg^2 \alpha$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках: $$ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Таким образом, выражение принимает вид: $$ \cos^2 \alpha \cdot \tg^2 \alpha $$ Зная, что $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем $\tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим это в наше выражение: $$ \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha $$ Ответ: $\sin^2 \alpha$

б) Упростим выражение $\tg \alpha \ctg \alpha - (\cos \alpha \tg \alpha)^2$.
Используем тождество $\tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1$.
Упростим выражение в скобках, используя определение тангенса $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \cos \alpha \cdot \tg \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha $$ Тогда $(\cos \alpha \tg \alpha)^2 = (\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha$.
Подставим полученные результаты в исходное выражение: $$ 1 - \sin^2 \alpha $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $$ Ответ: $\cos^2 \alpha$

в) Упростим выражение $\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$.
Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки: $$ (\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha $$ Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$: $$ \cos^2 \alpha \cdot 1 + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha $$ Снова применяем основное тригонометрическое тождество и получаем: $$ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $$ Ответ: $1$

г) Упростим выражение $\frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} \cdot \frac{\ctg^2 \alpha - 1}{\ctg \alpha}$.
Выразим второй множитель через тангенс, используя тождество $\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha}$: $$ \frac{\ctg^2 \alpha - 1}{\ctg \alpha} = \frac{\frac{1}{\tg^2 \alpha} - 1}{\frac{1}{\tg \alpha}} = \frac{\frac{1 - \tg^2 \alpha}{\tg^2 \alpha}}{\frac{1}{\tg \alpha}} = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{\tg^2 \alpha} \cdot \frac{\tg \alpha}{1} = \frac{1 - \tg^2 \alpha}{\tg \alpha} $$ Теперь перемножим два множителя: $$ \frac{\tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} \cdot \frac{1 - \tg^2 \alpha}{\tg \alpha} $$ Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $$ \frac{\cancel{\tg \alpha}}{\cancel{1 - \tg^2 \alpha}} \cdot \frac{\cancel{1 - \tg^2 \alpha}}{\cancel{\tg \alpha}} = 1 $$ Ответ: $1$

д) Упростим выражение $\frac{\sin^3 \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}$.
Рассмотрим числитель. Вынесем $\sin \alpha$ за скобки: $$ \sin^3 \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha = \sin \alpha (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) $$ Рассмотрим знаменатель. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим знаменатель: $$ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha $$ Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{\sin \alpha (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} $$ Сократим дробь на $(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$: $$ \sin \alpha $$ Ответ: $\sin \alpha$

е) Упростим выражение $\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1}{\ctg \alpha - \sin \alpha \cos \alpha}$.
Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 $$ Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 1 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha - 1 = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$ Теперь упростим знаменатель. Заменим $\ctg \alpha$ на $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$ \ctg \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha \cos \alpha $$ Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha - \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Вынесем $\cos \alpha$ за скобки в числителе: $$ \frac{\cos \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha} $$ Используя тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем: $$ \frac{\cos \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} $$ Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = 2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha} $$ Сократим дробь на $\cos \alpha$: $$ \frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 2 \tg^2 \alpha $$ Ответ: $2 \tg^2 \alpha$