Номер 1.132, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.132. Найдите $9\sqrt{2}\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $\operatorname{tg}\alpha < 0$.

Для нахождения значения выражения $9\sqrt{2}\cos\alpha$ необходимо сначала определить значение $\cos\alpha$, исходя из данных условий: $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $\tan\alpha < 0$.

1. Определение координатной четверти угла $\alpha$.
Из условия $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ следует, что синус угла положительный. Это возможно в I и II координатных четвертях.
Из условия $\tan\alpha < 0$ следует, что тангенс угла отрицательный. Это возможно во II и IV координатных четвертях.
Оба условия выполняются одновременно только для угла $\alpha$, который находится во II четверти. В этой четверти косинус угла является отрицательным ($\cos\alpha < 0$).

2. Нахождение значения $\cos\alpha$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{1}{3}$:
$\cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
Следовательно, $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Так как угол $\alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком минус:
$\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. Вычисление искомого выражения.
Теперь подставим найденное значение $\cos\alpha$ в исходное выражение:
$9\sqrt{2}\cos\alpha = 9\sqrt{2} \cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})$
$= -\frac{9\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{3} = -\frac{9 \cdot 2 \cdot (\sqrt{2})^2}{3} = -\frac{9 \cdot 2 \cdot 2}{3} = -\frac{36}{3} = -12$

Ответ: -12