Номер 1.125, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.125. Найдите $ \cos \alpha $, $ \operatorname{tg} \alpha $, $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{12}{13} $ и $ 2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2} $.

Поскольку по условию $2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}$, угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. В этой четверти все тригонометрические функции ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$) имеют положительные значения.

cos α
Для нахождения $\cos \alpha$ используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выразим из него $\cos \alpha$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
Подставим известное значение $\sin \alpha = \frac{12}{13}$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$
(Мы выбираем положительное значение, так как угол $\alpha$ находится в первой четверти).
Ответ: $\frac{5}{13}$.

tg α
Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Подставим значения $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$
Так как это неправильная дробь, выделим целую часть:
$\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$
Ответ: $\mathbf{2}\frac{2}{5}$.

ctg α
Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу: $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Подставим значения $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$
Это правильная дробь.
Ответ: $\frac{5}{12}$.