Номер 1.124, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.124. Найдите $ \sin \alpha, \operatorname{tg} \alpha, \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти:

• $\sin\alpha > 0$ (синус положителен)
• $\cos\alpha < 0$ (косинус отрицателен, что соответствует условию)
• $\tan\alpha < 0$ (тангенс отрицателен)
• $\cot\alpha < 0$ (котангенс отрицателен)

Дано: $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$.

sinα:
Для нахождения $\sin\alpha$ используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Подставим известное значение $\cos\alpha$:
$\sin^2\alpha + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1$
$\sin^2\alpha + \frac{16}{25} = 1$
$\sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25}$
$\sin^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$
$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$
Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, значение синуса должно быть положительным. Таким образом, выбираем знак "+".
Ответ: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$

tgα:
Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Подставим найденные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 4} = -\frac{3}{4}$
Ответ: $\tan\alpha = -\frac{3}{4}$

ctgα:
Котангенс угла можно найти как величину, обратную тангенсу, $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$, или как отношение косинуса к синусу, $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Используем второй способ:
$\cot\alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 3} = -\frac{4}{3}$
Это неправильная дробь. Выделим из нее целую часть:
$-\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$
Ответ: $\cot\alpha = -1\frac{1}{3}$