Номер 1.118, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.118. Сократите дробь:

а) $ \frac{c^2 - a^2}{c^2 + a^2 - 2ac} $;

б) $ \frac{5x - 7x^2 - 5y + 7xy}{x^2 - xy} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{c^2 - a^2}{c^2 + a^2 - 2ac}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

1. Числитель $c^2 - a^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$c^2 - a^2 = (c - a)(c + a)$

2. Знаменатель $c^2 + a^2 - 2ac$ можно переписать как $c^2 - 2ac + a^2$. Это квадрат разности. Применим формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$c^2 - 2ac + a^2 = (c - a)^2$

3. Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$\frac{(c - a)(c + a)}{(c - a)^2}$

4. Сократим общий множитель $(c - a)$. В знаменателе останется $(c - a)$ в первой степени:
$\frac{\cancel{(c - a)}(c + a)}{(c - a)^{\cancel{2}}} = \frac{c + a}{c - a}$

5. Мы получили неправильную алгебраическую дробь, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Выделим целую часть, представив числитель в виде суммы выражения, равного знаменателю, и остатка:
$\frac{c + a}{c - a} = \frac{(c - a) + 2a}{c - a} = \frac{c - a}{c - a} + \frac{2a}{c - a} = 1 + \frac{2a}{c - a}$

Ответ: $1 + \frac{2a}{c - a}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{5x - 7x^2 - 5y + 7xy}{x^2 - xy}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $5x - 7x^2 - 5y + 7xy$ на множители методом группировки. Сгруппируем слагаемые с общими множителями:
$(5x - 5y) + (-7x^2 + 7xy)$

Вынесем общие множители из каждой группы за скобки:
$5(x - y) - 7x(x - y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(x - y)(5 - 7x)$

2. Разложим знаменатель $x^2 - xy$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - xy = x(x - y)$

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$\frac{(x - y)(5 - 7x)}{x(x - y)}$

4. Сократим общий множитель $(x - y)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{\cancel{(x - y)}(5 - 7x)}{x\cancel{(x - y)}} = \frac{5 - 7x}{x}$

5. Полученная дробь является неправильной. Выделим целую часть, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{5 - 7x}{x} = \frac{5}{x} - \frac{7x}{x} = \frac{5}{x} - 7$

Для стандартной записи "целая часть + дробная часть" переставим слагаемые:
$-7 + \frac{5}{x}$

Ответ: $-7 + \frac{5}{x}$