Номер 1.111, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.111. На единичной окружности отмечены точки $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$, $P_{\gamma}$ и $P_{\phi}$, соответствующие углам $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\phi$ (рис. 71). Сравните с нулем значения тангенса и котангенса этих углов.

Рис. 71

Для сравнения с нулем значений тангенса и котангенса углов, соответствующих точкам на единичной окружности, необходимо определить знаки их координат (косинуса и синуса угла).

• Координаты точки $P(\theta)$ на единичной окружности равны $(\cos\theta, \sin\theta)$.
• Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $.
• Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $.

Знак тангенса и котангенса зависит от четверти, в которой находится угол:

• I четверть: $\cos\theta > 0$, $\sin\theta > 0$. Следовательно, $\tan\theta > 0$ и $\cot\theta > 0$.
• II четверть: $\cos\theta < 0$, $\sin\theta > 0$. Следовательно, $\tan\theta < 0$ и $\cot\theta < 0$.
• III четверть: $\cos\theta < 0$, $\sin\theta < 0$. Следовательно, $\tan\theta > 0$ и $\cot\theta > 0$.
• IV четверть: $\cos\theta > 0$, $\sin\theta < 0$. Следовательно, $\tan\theta < 0$ и $\cot\theta < 0$.

Теперь проанализируем каждую точку:

P_α
Точка $P_α$ находится в I четверти. В этой четверти косинус и синус положительны.
Поэтому $\tan\alpha > 0$ и $\cot\alpha > 0$.
Ответ: $\tan\alpha > 0, \cot\alpha > 0$.

P_β
Точка $P_β$ находится в III четверти. В этой четверти косинус и синус отрицательны.
Отношение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $\tan\beta > 0$ и $\cot\beta > 0$.
Ответ: $\tan\beta > 0, \cot\beta > 0$.

P_γ
Точка $P_γ$ находится во II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, а синус положителен.
Поэтому $\tan\gamma < 0$ и $\cot\gamma < 0$.
Ответ: $\tan\gamma < 0, \cot\gamma < 0$.

P_φ
Точка $P_φ$ находится в IV четверти. В этой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.
Поэтому $\tan\phi < 0$ и $\cot\phi < 0$.
Ответ: $\tan\phi < 0, \cot\phi < 0$.