Номер 1.106, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.106. Найдите значение выражения:

a) $\cot\frac{\pi}{6} \cdot \cos\frac{\pi}{6} + \tan\frac{\pi}{4};$

б) $\cos^2\frac{\pi}{4} \cdot \tan\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{3}.$

a) $ctg \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \text{tg} \frac{\pi}{4}$

Для решения данного выражения найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

• $ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
• $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ctg \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \text{tg} \frac{\pi}{4} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Выполним вычисления:

$\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$

Полученная дробь $\frac{5}{2}$ является неправильной. Выделим целую часть:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$.

б) $\cos^2 \frac{\pi}{4} \cdot \text{tg} \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{3}$

Найдем значения тригонометрических функций для заданных углов:

• $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение, учитывая, что $\cos^2 \frac{\pi}{4} = (\cos \frac{\pi}{4})^2$:

$\cos^2 \frac{\pi}{4} \cdot \text{tg} \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{3} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Выполним вычисления по шагам:

1. Возведем в квадрат: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. Выполним умножение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

3. Выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{6} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.