Номер 1.102, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.102. С помощью оси котангенсов найдите один из углов, котангенс которого равен: а) 2; б) $\frac{2}{3}$.

Для нахождения угла по известному значению его котангенса с помощью оси котангенсов, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Изобразить единичную окружность в системе координат Oxy.
2. Провести ось котангенсов. Это прямая, параллельная оси абсцисс, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$. Уравнение этой прямой: $y=1$.
3. На оси котангенсов найти точку, абсцисса (координата x) которой равна заданному значению котангенса.
4. Соединить эту точку с началом координат $O(0, 0)$.
5. Угол, который образует полученный отрезок (или луч) с положительным направлением оси Ox, и будет одним из искомых углов.

а) Найдем угол $\alpha$, котангенс которого равен 2, то есть $\cot(\alpha) = 2$.

На оси котангенсов (прямой $y=1$) отмечаем точку $P$, абсцисса которой равна 2. Таким образом, координаты точки $P$ равны $(2, 1)$.

Далее, проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $P(2, 1)$. Угол $\alpha$, образованный этой прямой и положительным направлением оси Ox, является искомым углом.

Так как абсцисса и ордината точки $P$ положительны, угол $\alpha$ расположен в первой координатной четверти.

По определению, арккотангенсом числа $a$ ($\text{arccot}(a)$) называется такой угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$.

Ответ: $\text{arccot}(2)$.

б) Найдем угол $\beta$, котангенс которого равен $-\frac{2}{3}$, то есть $\cot(\beta) = -\frac{2}{3}$.

На оси котангенсов (прямой $y=1$) отмечаем точку $Q$, абсцисса которой равна $-\frac{2}{3}$. Координаты точки $Q$ равны $(-\frac{2}{3}, 1)$.

Проводим прямую через начало координат $O(0, 0)$ и точку $Q(-\frac{2}{3}, 1)$. Угол $\beta$, образованный этой прямой и положительным направлением оси Ox, является искомым углом.

Так как абсцисса точки $Q$ отрицательна, а ордината положительна, угол $\beta$ расположен во второй координатной четверти.

Следовательно, один из углов, котангенс которого равен $-\frac{2}{3}$, это $\text{arccot}(-\frac{2}{3})$.

Ответ: $\text{arccot}(-\frac{2}{3})$.