Номер 1.100, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.100. Углом какой четверти является угол α, если:

а) $ \text{tg}\alpha > 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $;

б) $ \sin\alpha < 0 $ и $ \text{ctg}\alpha < 0 $?

Для определения четверти, в которой находится угол $\alpha$, необходимо проанализировать знаки заданных тригонометрических функций. Вспомним, какие знаки имеют тригонометрические функции в каждой из четырех координатных четвертей:

• I четверть ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): все функции ($\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\text{tg}\alpha$, $\text{ctg}\alpha$) положительны.
• II четверть ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): только $\sin\alpha > 0$, остальные отрицательны.
• III четверть ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$): только $\text{tg}\alpha > 0$ и $\text{ctg}\alpha > 0$, остальные отрицательны.
• IV четверть ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$): только $\cos\alpha > 0$, остальные отрицательны.

a) Даны условия: $\text{tg}\alpha > 0$ и $\cos\alpha < 0$.

1. Условие $\text{tg}\alpha > 0$ выполняется в I и III четвертях.
2. Условие $\cos\alpha < 0$ выполняется во II и III четвертях.
Чтобы оба условия выполнялись одновременно, угол $\alpha$ должен находиться в четверти, которая является общей для обоих условий. Это III четверть.

Ответ: III четверть.

б) Даны условия: $\sin\alpha < 0$ и $\text{ctg}\alpha < 0$.

1. Условие $\sin\alpha < 0$ выполняется в III и IV четвертях.
2. Условие $\text{ctg}\alpha < 0$ выполняется во II и IV четвертях.
Общей четвертью для этих двух условий является IV четверть.

Ответ: IV четверть.