Номер 1.101, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.101. С помощью оси тангенсов найдите один из углов, тангенс которого равен:

а) $\frac{5}{3}$;

б) $-\frac{2}{5}$.

Для нахождения угла с помощью оси тангенсов используется единичная окружность и специальная ось, которая является касательной к этой окружности. Алгоритм следующий:

1. В декартовой системе координат строится единичная окружность с центром в начале координат O(0,0).
2. Проводится ось тангенсов — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x=1$. Она касается окружности в точке (1, 0).
3. На оси тангенсов отмечается точка P, ордината (координата по оси y) которой равна заданному значению тангенса. Таким образом, координаты точки P будут $(1, \tan(\alpha))$.
4. Через начало координат O и точку P проводится прямая.
5. Угол, который образует эта прямая (точнее, луч OP) с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), и есть искомый угол $\alpha$.

а) Требуется найти угол $\alpha$, тангенс которого равен $\frac{5}{3}$.

Сначала представим неправильную дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Следуя алгоритму, на оси тангенсов ($x=1$) мы отмечаем точку P с ординатой $1\frac{2}{3}$. Координаты этой точки $P(1, 1\frac{2}{3})$.
Затем мы соединяем эту точку с началом координат O(0,0). Угол $\alpha$, образованный лучом OP и положительным направлением оси Ox, и есть искомый угол.
Поскольку значение тангенса положительно ($1\frac{2}{3} > 0$), точка P находится выше оси Ox, и, следовательно, угол $\alpha$ расположен в I координатной четверти.
Один из углов, тангенс которого равен $1\frac{2}{3}$, можно записать с помощью функции арктангенса.

Ответ: Один из углов равен $\arctan(\mathbf{1}\frac{2}{3})$.

б) Требуется найти угол $\beta$, тангенс которого равен $-\frac{2}{5}$.

Дробь $-\frac{2}{5}$ является правильной, поэтому выделять целую часть не нужно.
На оси тангенсов ($x=1$) мы отмечаем точку Q с ординатой $-\frac{2}{5}$. Координаты этой точки $Q(1, -\frac{2}{5})$.
Соединяем точку Q с началом координат O(0,0). Угол $\beta$, образованный лучом OQ и положительным направлением оси Ox, является искомым.
Поскольку значение тангенса отрицательно ($-\frac{2}{5} < 0$), точка Q находится ниже оси Ox, и, следовательно, угол $\beta$ расположен в IV координатной четверти.
Один из углов, тангенс которого равен $-\frac{2}{5}$, можно записать с помощью функции арктангенса.

Ответ: Один из углов равен $\arctan(-\frac{2}{5})$.