Номер 1.98, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.98. На единичной окружности отмечены точки $P_{\alpha}$, $P_{\beta}$, $P_{\gamma}$ и $P_{\varphi}$, соответствующие углам поворота $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\varphi$ (рис. 70). Сравните с нулем значения тангенса и котангенса этих углов.

Для того чтобы сравнить с нулем значения тангенса и котангенса для углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ и $\varphi$, необходимо определить, в какой координатной четверти находится каждая из точек $P_\alpha$, $P_\beta$, $P_\gamma$ и $P_\varphi$. Знак тангенса и котангенса угла зависит от знаков синуса и косинуса в соответствующей четверти.

Напомним, что:

• Тангенс угла: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• Котангенс угла: $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

Тангенс и котангенс имеют одинаковые знаки. Они положительны, когда $\sin \theta$ и $\cos \theta$ имеют одинаковые знаки (I и III четверти), и отрицательны, когда знаки $\sin \theta$ и $\cos \theta$ различны (II и IV четверти).

Так как в условии задачи есть ссылка на рисунок 70, будем исходить из стандартного расположения точек на единичной окружности для подобных задач: $P_\alpha$ находится в I четверти, $P_\beta$ — во II, $P_\gamma$ — в III, а $P_\varphi$ — в IV.

$\alpha$
Точка $P_\alpha$ находится в I четверти. В этой четверти и абсцисса ($\cos \alpha$), и ордината ($\sin \alpha$) точки положительны. Следовательно, их отношение также положительно.
Ответ: $\tan \alpha > 0$, $\cot \alpha > 0$.

$\beta$
Точка $P_\beta$ находится во II четверти. В этой четверти абсцисса ($\cos \beta$) отрицательна, а ордината ($\sin \beta$) положительна. Следовательно, их отношение отрицательно.
Ответ: $\tan \beta < 0$, $\cot \beta < 0$.

$\gamma$
Точка $P_\gamma$ находится в III четверти. В этой четверти и абсцисса ($\cos \gamma$), и ордината ($\sin \gamma$) отрицательны. Следовательно, их отношение положительно (частное двух отрицательных чисел).
Ответ: $\tan \gamma > 0$, $\cot \gamma > 0$.

$\varphi$
Точка $P_\varphi$ находится в IV четверти. В этой четверти абсцисса ($\cos \varphi$) положительна, а ордината ($\sin \varphi$) отрицательна. Следовательно, их отношение отрицательно.
Ответ: $\tan \varphi < 0$, $\cot \varphi < 0$.