Номер 1.91, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.91. Найдите значение выражения:

а) $ \text{ctg} \frac{\pi}{3} \cdot \text{cos} \frac{\pi}{6} - \text{ctg} \frac{\pi}{4}; $

б) $ \text{sin}^2 \frac{\pi}{4} \cdot \text{ctg} \frac{\pi}{6} + \text{sin} \frac{\pi}{3}; $

в) $ 6\text{tg} \frac{\pi}{6} + 4\text{cos} \frac{\pi}{3} - 9\text{ctg} \frac{\pi}{3}. $

а) $ \text{ctg}\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \text{ctg}\frac{\pi}{4} $

Для решения подставим табличные значения тригонометрических функций: $ \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $.

$ \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{3}{6} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

б) $ \sin^2\frac{\pi}{4} \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{3} $

Подставим табличные значения: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, следовательно $ \sin^2\frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Также $ \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $ и $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

$ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{3} $.

в) $ 6\text{tg}\frac{\pi}{6} + 4\cos\frac{\pi}{3} - 9\text{ctg}\frac{\pi}{3} $

Подставим табличные значения: $ \text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, $ \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

$ 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{1}{2} - 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} + 2 - 3\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} $

Ответ: $ 2 - \sqrt{3} $.