вопрос 2, страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. На единичной окружности задана точка $P_{\alpha}(0,6; 0,8)$. Тогда для угла $\alpha$ верными являются равенства:

a) $\sin\alpha = 0,6;$

б) $\cos\alpha = 0,6;$

в) $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3};$

г) $\operatorname{ctg}\alpha = 0,6;$

д) $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{4}{3}.$

Выберите правильный ответ.

Для решения задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Если точка $P_\alpha$ имеет координаты $(x; y)$, то для соответствующего угла $\alpha$ верны следующие соотношения:

• $\cos\alpha = x$
• $\sin\alpha = y$

В условии задачи дана точка $P_\alpha(0,6; 0,8)$, следовательно, $x=0,6$ и $y=0,8$. Отсюда получаем:

• $\cos\alpha = 0,6$
• $\sin\alpha = 0,8$

Тангенс и котангенс вычисляются по формулам $\tg\alpha = \frac{y}{x}$ и $\ctg\alpha = \frac{x}{y}$. Подставим наши значения:

$\tg\alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$\ctg\alpha = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Теперь проверим каждое из предложенных равенств:

a) $\sin\alpha = 0,6$;
Мы определили, что $\sin\alpha = 0,8$. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

б) $\cos\alpha = 0,6$;
Мы определили, что $\cos\alpha = 0,6$. Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

в) $\tg\alpha = \frac{4}{3}$;
Мы вычислили, что $\tg\alpha = \frac{4}{3}$. Следовательно, данное равенство верно. Дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной. Для выделения целой части разделим 4 на 3: $4 = 1 \cdot 3 + 1$, значит $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: верно, целая часть равна 1.

г) $\ctg\alpha = 0,6$;
Мы вычислили, что $\ctg\alpha = \frac{3}{4} = 0,75$. Следовательно, равенство $\ctg\alpha = 0,6$ неверно.
Ответ: неверно.

д) $\ctg\alpha = \frac{4}{3}.$
Мы вычислили, что $\ctg\alpha = \frac{3}{4}$. Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, правильными ответами на вопрос являются варианты б) и в).