Номер 1.90, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.90. С помощью оси котангенсов (рис. 69) найдите приближенное значение выражения:

а) $ctg \frac{\pi}{5}$;

б) $ctg \left(-\frac{4\pi}{9}\right)$;

в) $ctg \frac{13\pi}{10}$;

г) $ctg 0,7\pi$.

Рис. 69

Для нахождения приближенного значения котангенса с помощью оси котангенсов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти на единичной окружности точку $P_{\alpha}$, соответствующую заданному углу $\alpha$.
2. Провести прямую линию через начало координат O(0,0) и точку $P_{\alpha}$.
3. Найти точку пересечения этой прямой с осью котангенсов (горизонтальная прямая $y=1$).
4. Абсцисса (координата x) этой точки пересечения и будет являться значением $ctg(\alpha)$.

В качестве альтернативного и более точного метода, можно определить координаты $(x, y)$ точки $P_{\alpha}$ на единичной окружности по клеткам и вычислить котангенс по формуле $ctg(\alpha) = \frac{x}{y}$. Масштаб сетки на рисунке таков, что 1 единичный отрезок равен 5 клеткам, значит, цена одного деления (одной клетки) составляет 0.2 единицы.

а) $ctg\frac{\pi}{5}$
Точка $P_{\frac{\pi}{5}}$ расположена в первой четверти. Судя по сетке, ее координаты соответствуют 4 клеткам по оси Ox и 3 клеткам по оси Oy.
Координаты точки: $x \approx 4 \times 0.2 = 0.8$; $y \approx 3 \times 0.2 = 0.6$.
Проверим, лежит ли точка на окружности: $0.8^2 + 0.6^2 = 0.64 + 0.36 = 1$. Координаты определены верно.
Вычисляем котангенс:
$ctg\frac{\pi}{5} \approx \frac{x}{y} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть.
Ответ: $1\frac{1}{3}$

б) $ctg(-\frac{4\pi}{9})$
Воспользуемся свойством нечетности функции котангенса: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.
На рисунке в четвертой четверти отмечена точка $P_{\frac{4\pi}{9}}$, которая на самом деле соответствует углу $-\frac{4\pi}{9}$ (угол $-80^\circ$).
Проведем прямую через начало координат и эту точку до пересечения с осью котангенсов $y=1$. Точка пересечения будет иметь отрицательную абсциссу. Визуально по графику видно, что прямая пересекает ось котангенсов в точке, абсцисса которой равна -1 клетке, что соответствует значению -0.2.
Для проверки определим координаты точки $P_{-4\pi/9}$. Абсцисса равна 1 клетке ($x=0.2$), ордината примерно -4.9 клетки ($y \approx -0.98$).
$ctg(-\frac{4\pi}{9}) \approx \frac{0.2}{-0.98} = -\frac{20}{98} = -\frac{10}{49} \approx -0.204$.
Результат, полученный обоими способами, приблизительно равен -0.2.
Ответ: $-0.2$

в) $ctg\frac{13\pi}{10}$
Точка $P_{\frac{13\pi}{10}}$ находится в третьей четверти. Ее координаты по сетке: -3 клетки по оси Ox и -4 клетки по оси Oy.
Координаты точки: $x \approx -3 \times 0.2 = -0.6$; $y \approx -4 \times 0.2 = -0.8$.
Проверим, лежит ли точка на окружности: $(-0.6)^2 + (-0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1$. Координаты определены верно.
Вычисляем котангенс:
$ctg\frac{13\pi}{10} \approx \frac{x}{y} = \frac{-0.6}{-0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

г) $ctg\,0,7\pi$
Точка $P_{0.7\pi}$ находится во второй четверти. Ее координаты по сетке: -3 клетки по оси Ox и 4 клетки по оси Oy.
Координаты точки: $x \approx -3 \times 0.2 = -0.6$; $y \approx 4 \times 0.2 = 0.8$.
Проверим, лежит ли точка на окружности: $(-0.6)^2 + (0.8)^2 = 0.36 + 0.64 = 1$. Координаты определены верно.
Вычисляем котангенс:
$ctg\,0,7\pi \approx \frac{x}{y} = \frac{-0.6}{0.8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$