Номер 1.95, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.95. Найдите несколько значений $\alpha$, при которых:

a) $\text{ctg}\alpha = 1$;

б) $\text{tg}\alpha = 0$.

а) ctg α = 1;
Для решения уравнения $ctg \alpha = 1$ вспомним определение котангенса: $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Уравнение принимает вид $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 1$, что равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos \alpha = \sin \alpha \\ \sin \alpha \neq 0 \end{cases} $$ Равенство $\cos \alpha = \sin \alpha$ на единичной окружности выполняется для углов, конечные стороны которых лежат на биссектрисе I и III координатных четвертей. Основное решение в интервале $(0, \pi)$ - это $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Период функции котангенса равен $\pi$, поэтому общее решение уравнения имеет вид: $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
Найдем несколько конкретных значений $\alpha$, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$, $\alpha = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}$.
• При $k=1$, $\alpha = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{5\pi}{4}$. Выделяя целую часть, получаем $1\frac{1}{4}\pi$.
• При $k=2$, $\alpha = \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi = \frac{9\pi}{4}$. Выделяя целую часть, получаем $2\frac{1}{4}\pi$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$; $1\frac{1}{4}\pi$; $2\frac{1}{4}\pi$.

б) tg α = 0,
Для решения уравнения $tg \alpha = 0$ вспомним определение тангенса: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin \alpha = 0 \\ \cos \alpha \neq 0 \end{cases} $$ Решением уравнения $\sin \alpha = 0$ являются углы, конечные стороны которых лежат на оси абсцисс (Ox). Общая формула для этих углов: $\alpha = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k - любое целое число).
Проверим условие $\cos \alpha \neq 0$ для этих значений. При $\alpha = \pi k$, $\cos(\pi k)$ принимает значения $1$ (для четных $k$) и $-1$ (для нечетных $k$), что никогда не равно нулю. Таким образом, все значения $\alpha = \pi k$ являются решениями исходного уравнения.
Найдем несколько конкретных значений $\alpha$, подставляя различные целые значения $k$:

• При $k=0$, $\alpha = 0 \cdot \pi = 0$.
• При $k=1$, $\alpha = 1 \cdot \pi = \pi$.
• При $k=2$, $\alpha = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Ответ: $0$; $\pi$; $2\pi$.