Номер 1.99, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.99. Определите знак произведения:

a) $\text{tg} \frac{10\pi}{11} \cdot \text{tg} \frac{14\pi}{13}$;

б) $\text{ctg}(-401^\circ) \cdot \text{ctg}(-739^\circ)$,

в) $\text{ctg } 4 \cdot \text{tg } 3$.

Для определения знака произведения необходимо определить знак каждого множителя. Знак тригонометрической функции зависит от того, в какой координатной четверти находится угол.

• I четверть (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ или от $0^\circ$ до $90^\circ$): все основные тригонометрические функции ($\sin, \cos, \tg, \ctg$) положительны.
• II четверть (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ или от $90^\circ$ до $180^\circ$): положителен только синус, остальные отрицательны.
• III четверть (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ или от $180^\circ$ до $270^\circ$): положительны тангенс и котангенс, остальные отрицательны.
• IV четверть (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ или от $270^\circ$ до $360^\circ$): положителен только косинус, остальные отрицательны.

а) $\tg\frac{10\pi}{11} \cdot \tg\frac{14\pi}{13}$

1. Определим знак первого множителя $\tg\frac{10\pi}{11}$.
Сравним угол $\frac{10\pi}{11}$ с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} = \frac{5.5\pi}{11}$ и $\pi = \frac{11\pi}{11}$.
Неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{10\pi}{11} < \pi$ показывает, что угол $\frac{10\pi}{11}$ находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, поэтому $\tg\frac{10\pi}{11} < 0$.

2. Определим знак второго множителя $\tg\frac{14\pi}{13}$.
Дробь $\frac{14}{13}$ является неправильной. Выделим целую часть: $\frac{14}{13} = 1\frac{1}{13}$.
Следовательно, угол можно представить как $\frac{14\pi}{13} = \pi + \frac{\pi}{13}$. Это означает, что угол находится в III четверти (больше $\pi$, но меньше $\frac{3\pi}{2}$). Тангенс в III четверти положителен, поэтому $\tg\frac{14\pi}{13} > 0$.

3. Определим знак произведения.
Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным: $(-)\cdot(+) = (-)$.

Ответ: Знак произведения — минус (-).

б) $\ctg(-401^\circ) \cdot \ctg(-739^\circ)$

1. Упростим выражение, используя свойство нечетности котангенса $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$.
$\ctg(-401^\circ) \cdot \ctg(-739^\circ) = (-\ctg(401^\circ)) \cdot (-\ctg(739^\circ)) = \ctg(401^\circ) \cdot \ctg(739^\circ)$.
Таким образом, знак исходного произведения совпадает со знаком произведения $\ctg(401^\circ) \cdot \ctg(739^\circ)$.

2. Определим знак $\ctg(401^\circ)$.
Так как котангенс — периодическая функция с периодом $360^\circ$, найдем остаток от деления на $360^\circ$.
$401^\circ = 360^\circ + 41^\circ$.
$\ctg(401^\circ) = \ctg(41^\circ)$.
Угол $41^\circ$ находится в I четверти, где котангенс положителен: $\ctg(401^\circ) > 0$.

3. Определим знак $\ctg(739^\circ)$.
$739^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 19^\circ = 720^\circ + 19^\circ$.
$\ctg(739^\circ) = \ctg(19^\circ)$.
Угол $19^\circ$ находится в I четверти, где котангенс положителен: $\ctg(739^\circ) > 0$.

4. Определим знак произведения.
Произведение двух положительных чисел является положительным: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Ответ: Знак произведения — плюс (+).

в) $\ctg 4 \cdot \tg 3$

Поскольку углы заданы в радианах, сравним их с приближенными значениями границ четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$.

1. Определим знак $\ctg 4$.
Из неравенства $\pi \approx 3,14 < 4 < 4,71 \approx \frac{3\pi}{2}$ следует, что угол в 4 радиана находится в III четверти. Котангенс в III четверти положителен, значит $\ctg 4 > 0$.

2. Определим знак $\tg 3$.
Из неравенства $\frac{\pi}{2} \approx 1,57 < 3 < 3,14 \approx \pi$ следует, что угол в 3 радиана находится во II четверти. Тангенс во II четверти отрицателен, значит $\tg 3 < 0$.

3. Определим знак произведения.
Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным: $(+)\cdot(-) = (-)$.

Ответ: Знак произведения — минус (-).