Номер 1.97, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.97. Расположите в порядке убывания:

$ \text{ctg } 46^\circ $; $ \text{ctg } 118^\circ $ и $ \text{ctg } 79^\circ $

Для того чтобы расположить значения $\text{ctg} 46^\circ$, $\text{ctg} 118^\circ$ и $\text{ctg} 79^\circ$ в порядке убывания, необходимо сравнить их, используя свойства тригонометрической функции $y = \text{ctg}(x)$.

Шаг 1. Анализ знаков

Знак котангенса зависит от координатной четверти, в которой находится угол:

• В I четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) котангенс положителен ($\text{ctg}(\alpha) > 0$).
• Во II четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) котангенс отрицателен ($\text{ctg}(\alpha) < 0$).

Определим знаки для каждого из заданных значений:

• Угол $46^\circ$ находится в I четверти, следовательно, $\text{ctg} 46^\circ > 0$.
• Угол $118^\circ$ находится во II четверти, следовательно, $\text{ctg} 118^\circ < 0$.
• Угол $79^\circ$ находится в I четверти, следовательно, $\text{ctg} 79^\circ > 0$.

Из этого следует, что значение $\text{ctg} 118^\circ$ является наименьшим из трех, так как оно единственное отрицательное.

Шаг 2. Сравнение положительных значений

Теперь сравним два положительных значения: $\text{ctg} 46^\circ$ и $\text{ctg} 79^\circ$.

Функция $y = \text{ctg}(x)$ является монотонно убывающей на интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то их котангенсы будут в обратном соотношении: $\text{ctg}(x_1) > \text{ctg}(x_2)$.

Сравним углы $46^\circ$ и $79^\circ$. Оба угла принадлежат данному интервалу.

Поскольку $46^\circ < 79^\circ$, то, применяя свойство убывания функции, получаем:

$$ \text{ctg} 46^\circ > \text{ctg} 79^\circ $$

Шаг 3. Итоговый порядок

Объединив результаты двух предыдущих шагов, мы можем выстроить итоговую последовательность. Мы знаем, что:

1. $\text{ctg} 46^\circ$ больше чем $\text{ctg} 79^\circ$.
2. Оба этих значения больше нуля.
3. $\text{ctg} 118^\circ$ меньше нуля.

Таким образом, получаем полную цепочку неравенств:

$$ \text{ctg} 46^\circ > \text{ctg} 79^\circ > \text{ctg} 118^\circ $$

Следовательно, числа в порядке убывания располагаются следующим образом: $\text{ctg} 46^\circ$, затем $\text{ctg} 79^\circ$, и последним $\text{ctg} 118^\circ$.

Расположите в порядке убывания: ctg 46°; ctg 118° и ctg 79°. Ответ: $\text{ctg} 46^\circ; \text{ctg} 79^\circ; \text{ctg} 118^\circ$.