Номер 1.103, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.103. Верно ли, что:

а) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg}\frac{\pi}{4}$;

б) $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{ctg}\frac{\pi}{3}$;

в) $\text{tg}\frac{2\pi}{3} = \text{tg}\frac{\pi}{3}$;

г) $\text{ctg}\frac{\pi}{2} = \text{ctg}\frac{3\pi}{2}$?

а) Для проверки верности равенства $tg(-\frac{\pi}{4}) = -tg\frac{\pi}{4}$ воспользуемся свойством нечетности функции тангенса. Для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$, поэтому равенство является верным.
Также можно проверить равенство, вычислив значения тангенса:
$tg\frac{\pi}{4} = 1$
$tg(-\frac{\pi}{4}) = -1$
Подставим значения в исходное равенство:
$-1 = -(1)$
$-1 = -1$
Равенство верно.
Ответ: да.

б) Для проверки верности равенства $ctg(-\frac{\pi}{3}) = -ctg\frac{\pi}{3}$ воспользуемся свойством нечетности функции котангенса. Для любого угла $\alpha$ справедливо тождество $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{3}$, поэтому равенство является верным.
Также можно проверить равенство, вычислив значения котангенса:
$ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$ctg(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Подставим значения в исходное равенство:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -(\frac{\sqrt{3}}{3})$
$-\frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Равенство верно.
Ответ: да.

в) Для проверки верности равенства $tg\frac{2\pi}{3} = tg\frac{\pi}{3}$ вычислим значения обеих частей.
Значение правой части: $tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Для вычисления левой части воспользуемся формулой приведения $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$:
$tg\frac{2\pi}{3} = tg(\pi - \frac{\pi}{3}) = -tg\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
Сравним полученные значения:
$-\sqrt{3} = \sqrt{3}$
Это неверно. Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в I четверти, где тангенс положителен, а угол $\frac{2\pi}{3}$ — во II четверти, где тангенс отрицателен.
Ответ: нет.

г) Для проверки верности равенства $ctg\frac{\pi}{2} = ctg\frac{3\pi}{2}$ вычислим значения обеих частей.
$ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
$ctg\frac{\pi}{2} = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$
$ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$
Сравним полученные значения:
$0 = 0$
Равенство верно. Также можно было воспользоваться свойством периодичности котангенса, период которого равен $\pi$: $ctg(\alpha + \pi) = ctg(\alpha)$. Так как $\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi$, то $ctg\frac{3\pi}{2} = ctg(\frac{\pi}{2} + \pi) = ctg\frac{\pi}{2}$.
Ответ: да.