Номер 1.104, страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.104. Используя определение тангенса и котангенса произвольного угла, найдите $tg \alpha$ и $ctg \alpha$, если известно, что точка $P_\alpha$ единичной окружности имеет координаты:

a) $P_\alpha \left(\frac{15}{17}; -\frac{8}{17}\right)$;

б) $P_\alpha (0,6; -0,8)$.

Согласно определению, для точки $P_\alpha(x; y)$ на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$, её координаты являются косинусом и синусом этого угла: $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$.

Тангенс и котангенс угла $\alpha$ определяются через координаты точки следующим образом:
$\tg\alpha = \frac{y}{x}$
$\ctg\alpha = \frac{x}{y}$

Применим эти формулы для решения задачи.

а) Для точки $P_\alpha\left(\frac{15}{17}; -\frac{8}{17}\right)$ имеем $x = \frac{15}{17}$ и $y = -\frac{8}{17}$.
Вычисляем тангенс:
$\tg\alpha = \frac{y}{x} = \frac{-8/17}{15/17} = -\frac{8}{17} \cdot \frac{17}{15} = -\frac{8}{15}$.
Вычисляем котангенс:
$\ctg\alpha = \frac{x}{y} = \frac{15/17}{-8/17} = \frac{15}{17} \cdot \left(-\frac{17}{8}\right) = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8}$.
Ответ: $\tg\alpha = -\frac{8}{15}$, $\ctg\alpha = \mathbf{-1}\frac{7}{8}$.

б) Для точки $P_\alpha(0,6; -0,8)$ сначала переведем десятичные дроби в обыкновенные: $x = 0,6 = \frac{3}{5}$ и $y = -0,8 = -\frac{4}{5}$.
Вычисляем тангенс:
$\tg\alpha = \frac{y}{x} = \frac{-4/5}{3/5} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.
Вычисляем котангенс:
$\ctg\alpha = \frac{x}{y} = \frac{3/5}{-4/5} = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{4}\right) = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $\tg\alpha = \mathbf{-1}\frac{1}{3}$, $\ctg\alpha = -\frac{3}{4}$.