Номер 1.105, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.105. С помощью оси тангенсов на рисунке 68 (оси котангенсов на рисунке 69) найдите приближенное значение выражения:

a) $\text{tg } 35^{\circ}$;

б) $\text{ctg } \frac{7\pi}{9}$;

в) $\text{tg } (-160^{\circ})$;

г) $\text{ctg } (-\frac{3\pi}{8})$.

Для нахождения приближенных значений тригонометрических функций с помощью осей тангенсов и котангенсов используется единичная окружность. Общий принцип заключается в следующем:

• Ось тангенсов — это вертикальная прямая с уравнением $x=1$, которая касается единичной окружности в точке $(1, 0)$. Чтобы найти тангенс угла $\alpha$, нужно провести прямую через начало координат и точку на окружности, соответствующую углу $\alpha$. Ордината (координата $y$) точки пересечения этой прямой с осью тангенсов и будет значением $\tg \alpha$.
• Ось котангенсов — это горизонтальная прямая с уравнением $y=1$, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$. Чтобы найти котангенс угла $\alpha$, нужно провести прямую через начало координат и точку на окружности, соответствующую углу $\alpha$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этой прямой с осью котангенсов и будет значением $\ctg \alpha$.

а) $\tg 35^\circ$

На единичной окружности откладываем угол $35^\circ$ против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$. Этот угол находится в I четверти. Проводим прямую через начало координат и точку на окружности, соответствующую углу $35^\circ$. Продолжаем эту прямую до пересечения с осью тангенсов (прямой $x=1$). Точка пересечения будет иметь положительную ординату. Поскольку $35^\circ < 45^\circ$, а $\tg 45^\circ = 1$, значение $\tg 35^\circ$ будет положительным и меньше 1. По графику это значение можно оценить как примерно 0,7.
Более точное значение: $\tg 35^\circ \approx 0,7002$.
Ответ: 0,7

б) $\ctg \frac{7\pi}{9}$

Сначала переведем радианы в градусы для удобства: $\frac{7\pi}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = 140^\circ$. Этот угол находится во II четверти. Проводим прямую через начало координат и точку на окружности, соответствующую углу $140^\circ$. Для нахождения котангенса, продолжаем эту прямую до пересечения с осью котангенсов (прямой $y=1$). Так как луч угла находится во II четверти, его продолжение в противоположном направлении (через начало координат) пересечет ось котангенсов в области отрицательных значений $x$. Поскольку $135^\circ < 140^\circ$, а $\ctg 135^\circ = -1$, значение $\ctg 140^\circ$ будет более отрицательным, чем -1 (т.е. меньше -1). По графику значение можно оценить как примерно -1,2.
Более точное значение: $\ctg 140^\circ \approx -1,1918$.
Ответ: -1,2

в) $\tg(-160^\circ)$

Угол $-160^\circ$ откладывается по часовой стрелке и находится в III четверти. Прямая, проведенная через начало координат и точку, соответствующую этому углу, для пересечения с осью тангенсов ($x=1$) должна быть продлена в противоположном направлении, попадая в I четверть. Это означает, что тангенс будет положительным. Можно также использовать свойство периодичности тангенса: $\tg(-160^\circ) = \tg(-160^\circ + 180^\circ) = \tg(20^\circ)$. Угол $20^\circ$ находится в I четверти, и его тангенс — это небольшое положительное число. По графику его можно оценить как примерно 0,36.
Более точное значение: $\tg(20^\circ) \approx 0,3640$.
Ответ: 0,36

г) $\ctg(-\frac{3\pi}{8})$

Переведем радианы в градусы: $-\frac{3\pi}{8} = -\frac{3 \cdot 180^\circ}{8} = -67,5^\circ$. Этот угол находится в IV четверти. Прямая, проведенная через начало координат и точку для этого угла, пересечет ось котангенсов ($y=1$) в области отрицательных значений $x$. Можно использовать свойство нечетности котангенса: $\ctg(-\frac{3\pi}{8}) = -\ctg(\frac{3\pi}{8})$. Угол $\frac{3\pi}{8} = 67,5^\circ$ находится в I четверти. Поскольку $45^\circ < 67,5^\circ < 90^\circ$, значение $\ctg(67,5^\circ)$ находится между $\ctg 45^\circ = 1$ и $\ctg 90^\circ = 0$. По графику значение можно оценить как примерно 0,4. Следовательно, $\ctg(-\frac{3\pi}{8}) \approx -0,4$.
Более точное значение: $\ctg(-67,5^\circ) \approx -0,4142$.
Ответ: -0,4