Номер 1.110, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.110. Сравните:

а) $ \operatorname{ctg} 55^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 63^\circ $;

б) $ \operatorname{tg} 42^\circ $ и $ \operatorname{tg} 68^\circ $;

в) $ \operatorname{ctg} 200^\circ $ и $ \operatorname{ctg} 225^\circ $;

г) $ \operatorname{tg}(-35^\circ) $ и $ \operatorname{tg}(-55^\circ) $.

Для сравнения значений тригонометрических функций будем использовать свойства их монотонности на соответствующих промежутках.

а) ctg 55° и ctg 63°

Аргументы 55° и 63° принадлежат первой четверти, то есть промежутку $(0°; 90°)$. На этом промежутке функция котангенс $y = \text{ctg}(x)$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Так как $55° < 63°$, то из свойства убывания функции котангенс следует, что:

$\text{ctg}(55°) > \text{ctg}(63°)$

Ответ: $\text{ctg}(55°) > \text{ctg}(63°)$

б) tg 42° и tg 68°

Аргументы 42° и 68° принадлежат первой четверти, то есть промежутку $(0°; 90°)$. Этот промежуток является частью интервала $(-90°; 90°)$, на котором функция тангенс $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Так как $42° < 68°$, то из свойства возрастания функции тангенс следует, что:

$\text{tg}(42°) < \text{tg}(68°)$

Ответ: $\text{tg}(42°) < \text{tg}(68°)$

в) ctg 200° и ctg 225°

Аргументы 200° и 225° принадлежат третьей четверти, то есть промежутку $(180°; 270°)$. Функция котангенс $y = \text{ctg}(x)$ является убывающей на всей своей области определения, в том числе и на промежутке $(180°; 360°)$.

Так как $200° < 225°$, то из свойства убывания функции котангенс следует, что:

$\text{ctg}(200°) > \text{ctg}(225°)$

Альтернативный способ: можно использовать периодичность котангенса (период равен 180° или $\pi$):
$\text{ctg}(200°) = \text{ctg}(200° - 180°) = \text{ctg}(20°)$
$\text{ctg}(225°) = \text{ctg}(225° - 180°) = \text{ctg}(45°) = 1$
Теперь сравним $\text{ctg}(20°)$ и $\text{ctg}(45°)$. Так как в первой четверти котангенс убывает и $20° < 45°$, то $\text{ctg}(20°) > \text{ctg}(45°)$, следовательно, $\text{ctg}(200°) > \text{ctg}(225°)$.

Ответ: $\text{ctg}(200°) > \text{ctg}(225°)$

г) tg(-35°) и tg(-55°)

Аргументы -35° и -55° принадлежат промежутку $(-90°; 0°)$. На этом промежутке, который является частью интервала $(-90°; 90°)$, функция тангенс $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей.

Сравним аргументы: $-55° < -35°$.

Так как функция тангенс возрастает, большему значению аргумента (-35°) соответствует большее значение функции:

$\text{tg}(-55°) < \text{tg}(-35°)$

Альтернативный способ: можно использовать свойство нечетности функции тангенс ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$):
$\text{tg}(-35°) = -\text{tg}(35°)$
$\text{tg}(-55°) = -\text{tg}(55°)$
В первой четверти тангенс возрастает, поэтому $35° < 55°$ влечет $\text{tg}(35°) < \text{tg}(55°)$. При умножении неравенства на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $-\text{tg}(35°) > -\text{tg}(55°)$. Следовательно, $\text{tg}(-35°) > \text{tg}(-55°)$.

Ответ: $\text{tg}(-35°) > \text{tg}(-55°)$