Номер 1.108, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.108. Найдите значение выражения:

a) $ \operatorname{tg} \pi + \cos \pi $;

б) $ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} + 2 \cos \frac{\pi}{3} $;

в) $ \sin \frac{\pi}{6} + \operatorname{tg} 2\pi $;

г) $ \cos \frac{\pi}{4} + \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{2} $.

а) $\tg\pi + \cos\pi$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. Угол $\pi$ радиан равен 180°.

1. Найдём значение $\tg\pi$. Тангенс угла $\pi$ равен 0.
   $\tg\pi = 0$
2. Найдём значение $\cos\pi$. Косинус угла $\pi$ равен -1.
   $\cos\pi = -1$
3. Теперь сложим полученные значения:
   $\tg\pi + \cos\pi = 0 + (-1) = -1$

Ответ: $-1$

б) $\ctg\frac{\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{3}$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен 45°, а угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен 60°.

1. Найдём значение $\ctg\frac{\pi}{4}$. Котангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1.
   $\ctg\frac{\pi}{4} = 1$
2. Найдём значение $\cos\frac{\pi}{3}$. Косинус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{2}$.
   $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
3. Подставим значения в выражение и вычислим:
   $\ctg\frac{\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{3} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

в) $\sin\frac{\pi}{6} + \tg(2\pi)$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен 30°, а угол $2\pi$ радиан равен 360°.

1. Найдём значение $\sin\frac{\pi}{6}$. Синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{1}{2}$.
   $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
2. Найдём значение $\tg(2\pi)$. Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$. Следовательно, $\tg(2\pi) = \tg(0) = 0$.
   $\tg(2\pi) = 0$
3. Теперь сложим полученные значения:
   $\sin\frac{\pi}{6} + \tg(2\pi) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\cos\frac{\pi}{4} + \ctg\frac{3\pi}{2}$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для стандартных углов. Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен 45°, а угол $\frac{3\pi}{2}$ радиан равен 270°.

1. Найдём значение $\cos\frac{\pi}{4}$. Косинус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. Найдём значение $\ctg\frac{3\pi}{2}$. Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
   $\ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{\cos(3\pi/2)}{\sin(3\pi/2)} = \frac{0}{-1} = 0$
3. Теперь сложим полученные значения:
   $\cos\frac{\pi}{4} + \ctg\frac{3\pi}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$