Номер 1.112, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.112. Определите знак произведения:

a) $ \operatorname{ctg} \frac{8\pi}{9} \cdot \operatorname{ctg} \frac{11\pi}{10} $;

б) $ \operatorname{tg}(-511^\circ) \cdot \operatorname{tg}(-183^\circ) $;

в) $ \operatorname{ctg} 2 \cdot \operatorname{tg} 5 $.

а) $ctg \frac{8\pi}{9} \cdot ctg \frac{11\pi}{10}$

Для определения знака произведения, найдем знак каждого множителя, определив, в какой координатной четверти находится каждый угол.

Рассмотрим $ctg \frac{8\pi}{9}$. Угол $\frac{8\pi}{9}$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \frac{8\pi}{9} < \pi$ (так как $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$). Следовательно, угол находится во второй четверти. Котангенс во второй четверти отрицателен, то есть $ctg \frac{8\pi}{9} < 0$.

Рассмотрим $ctg \frac{11\pi}{10}$. Дробь $\frac{11}{10}$ является неправильной. Выделим целую часть: $\frac{11\pi}{10} = \textbf{1}\frac{1}{10}\pi = \pi + \frac{\pi}{10}$. Этот угол удовлетворяет неравенству $\pi < \pi + \frac{\pi}{10} < \frac{3\pi}{2}$ (так как $\frac{10\pi}{10} < \frac{11\pi}{10} < \frac{15\pi}{10}$). Следовательно, угол находится в третьей четверти. Котангенс в третьей четверти положителен, то есть $ctg \frac{11\pi}{10} > 0$.

Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным: $ (-) \cdot (+) = (-) $.

Ответ: знак "минус".

б) $tg(-511^\circ) \cdot tg(-183^\circ)$

Воспользуемся свойством нечетности функции тангенс $tg(-x) = -tg(x)$:
$tg(-511^\circ) \cdot tg(-183^\circ) = [-tg(511^\circ)] \cdot [-tg(183^\circ)] = tg(511^\circ) \cdot tg(183^\circ)$.
Теперь определим знак каждого множителя в полученном выражении.

Определим знак $tg(511^\circ)$. Угол $511^\circ$ больше $360^\circ$. Приведем его к углу в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$, выделив целое число полных оборотов: $511^\circ = \textbf{1} \cdot 360^\circ + 151^\circ$.
Следовательно, $tg(511^\circ) = tg(151^\circ)$. Угол $151^\circ$ находится во второй четверти ($90^\circ < 151^\circ < 180^\circ$), где тангенс отрицателен: $tg(511^\circ) < 0$.

Определим знак $tg(183^\circ)$. Угол $183^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 183^\circ < 270^\circ$), где тангенс положителен: $tg(183^\circ) > 0$.

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным: $ (-) \cdot (+) = (-) $.

Ответ: знак "минус".

в) $ctg(2) \cdot tg(5)$

Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Для определения знаков воспользуемся приближенными значениями границ четвертей: $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$; $\pi \approx 3.14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$; $2\pi \approx 6.28$.

Определим знак $ctg(2)$. Так как $1.57 < 2 < 3.14$, что соответствует неравенству $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол 2 радиана находится во второй четверти. Котангенс в этой четверти отрицателен: $ctg(2) < 0$.

Определим знак $tg(5)$. Так как $4.71 < 5 < 6.28$, что соответствует неравенству $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, угол 5 радиан находится в четвертой четверти. Тангенс в этой четверти также отрицателен: $tg(5) < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел является положительным: $ (-) \cdot (-) = (+) $.

Ответ: знак "плюс".