Номер 1.116, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.116. Верно ли, что:

а) центром окружности, заданной уравнением $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$, является точка $(4; -8);$

б) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + (y - 9)^2 = 36$, является точка $(0; -9);$

в) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 8$, является точка $(0; 0);$

г) радиус окружности, заданной уравнением $(x + 5)^2 + y^2 = 16$, равен 4?

Для проверки истинности утверждений воспользуемся общим уравнением окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $r$: $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$ Проанализируем каждый пункт.

а) центром окружности, заданной уравнением $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$, является точка (4; –8);
Сравнивая данное уравнение $(x - 4)^2 + (y + 8)^2 = 16$ с общим видом, находим координаты центра. Выражение $(x - 4)^2$ соответствует $(x - x_0)^2$, откуда $x_0 = 4$. Выражение $(y + 8)^2$ можно представить как $(y - (-8))^2$, что соответствует $(y - y_0)^2$, откуда $y_0 = -8$. Следовательно, центр окружности — точка с координатами $(4; -8)$. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + (y - 9)^2 = 36$, является точка (0; –9);
Представим уравнение $x^2 + (y - 9)^2 = 36$ в общем виде: $(x - 0)^2 + (y - 9)^2 = 36$. Сравнивая с $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, находим координаты центра. Из $(x - 0)^2$ следует, что $x_0 = 0$. Из $(y - 9)^2$ следует, что $y_0 = 9$. Следовательно, центр окружности — точка с координатами $(0; 9)$. Утверждение, что центр находится в точке $(0; -9)$, неверно.
Ответ: Неверно.

в) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 8$, является точка (0; 0);
Уравнение $x^2 + y^2 = 8$ можно записать в виде $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 8$. Сравнивая с общим уравнением, видим, что $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Следовательно, центр окружности — точка с координатами $(0; 0)$, что совпадает с началом координат. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

г) радиус окружности, заданной уравнением $(x + 5)^2 + y^2 = 16$, равен 4?
В общем уравнении окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ член $r^2$ представляет собой квадрат радиуса. В данном уравнении $(x + 5)^2 + y^2 = 16$, правая часть равна 16. Следовательно, $r^2 = 16$. Радиус $r$ равен квадратному корню из этого значения: $r = \sqrt{16} = 4$. (Радиус всегда положителен). Утверждение, что радиус равен 4, верно.
Ответ: Верно.