Номер 1.120, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.120. Определите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:

а) $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 16;$

б) $x^2 + (y + 2)^2 = 9;$

В) $(x + 5)^2 + y^2 = 7;$

Г) $x^2 + y^2 = 1.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $C(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$ Чтобы определить координаты центра и радиус для каждой из заданных окружностей, необходимо сравнить ее уравнение с этим каноническим видом.

а) Дано уравнение $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$. Сравнивая его с общим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, мы видим, что $x_0 = 1$, $y_0 = 3$ и $r^2 = 16$. Таким образом, координаты центра окружности — это $(1, 3)$, а радиус $r = \sqrt{16} = 4$. Ответ: центр $(1, 3)$, радиус 4.

б) Дано уравнение $x^2 + (y + 2)^2 = 9$. Его можно представить в каноническом виде как $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 = 9$. Сравнивая с общим уравнением, находим, что $x_0 = 0$, $y_0 = -2$ и $r^2 = 9$. Таким образом, координаты центра окружности — это $(0, -2)$, а радиус $r = \sqrt{9} = 3$. Ответ: центр $(0, -2)$, радиус 3.

в) Дано уравнение $(x + 5)^2 + y^2 = 7$. Его можно представить в каноническом виде как $(x - (-5))^2 + (y - 0)^2 = 7$. Сравнивая с общим уравнением, находим, что $x_0 = -5$, $y_0 = 0$ и $r^2 = 7$. Таким образом, координаты центра окружности — это $(-5, 0)$, а радиус $r = \sqrt{7}$. Ответ: центр $(-5, 0)$, радиус $\sqrt{7}$.

г) Дано уравнение $x^2 + y^2 = 1$. Его можно представить в каноническом виде как $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1$. Сравнивая с общим уравнением, находим, что $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и $r^2 = 1$. Таким образом, центр окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а радиус $r = \sqrt{1} = 1$. Ответ: центр $(0, 0)$, радиус 1.