Номер 1.123, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.123. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же угла быть равными соответственно:

а) 4 и 0,25;

б) $\sqrt{7}$ и $-\frac{1}{\sqrt{7}}$?

Для того чтобы определить, могут ли тангенс и котангенс одного и того же угла $\alpha$ принимать заданные значения, необходимо проверить выполнение основного тригонометрического тождества:

Из этого тождества следуют два ключевых условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Тангенс и котангенс одного угла должны иметь одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).
2. Их произведение должно быть равно 1.

Проверим каждую пару предложенных значений на соответствие этим двум условиям.

а) Могут ли тангенс и котангенс быть равны $4$ и $0,25$?

1. Проверка знаков: Число $4$ — положительное. Число $0,25$ — также положительное. Знаки совпадают, первое условие выполнено.

2. Проверка произведения: Вычислим произведение этих чисел.

Произведение равно 1, второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия соблюдаются, такие значения возможны.
Ответ: Да, могут.

б) Могут ли тангенс и котангенс быть равны $\sqrt{7}$ и $-\frac{1}{\sqrt{7}}$?

1. Проверка знаков: Число $\sqrt{7}$ является положительным, а число $-\frac{1}{\sqrt{7}}$ — отрицательным. Знаки у чисел разные.

Первое условие не выполняется, поэтому можно сразу заключить, что такие значения для тангенса и котангенса одного угла невозможны.

Для дополнительной уверенности можно проверить и второе условие:

Произведение равно $-1$, а не $1$. Это также подтверждает, что второе условие не выполнено.

Так как оба условия нарушены, данные значения не могут быть тангенсом и котангенсом одного и того же угла.
Ответ: Нет, не могут.